ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1586 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения х, при которых касательные к графикам функций у = 3 cos 5х и у = 5 cos Зх + 2 в точках с абсциссой х параллельны.

Даны функции:

$$f(x) = 3 \cos 5x \quad \text{и} \quad y = 5 \cos 3x + 2;$$

При производные функций:

$$f'(x) = 3 (\cos 5x)’ = 3 \cdot (-5 \sin 5x) = -15 \sin 5x;$$ $$g'(x) = 5 (\cos 3x)’ + (2)’ = 5 \cdot (-3 \sin 3x) + 0 = -15 \sin 3x;$$

Касательные к графикам функций параллельны при:

$$-15 \sin 5x = -15 \sin 3x;$$ $$\sin 5x = \sin 3x;$$ $$\sin 5x — \sin 3x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{5x + 3x}{2} = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos 4x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ: $\pi n; \, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.$

Даны функции:

$$f(x) = 3 \cos 5x \quad \text{и} \quad y = 5 \cos 3x + 2$$

Нам нужно найти значения $x$, при которых касательные к графикам этих функций будут параллельны. Для этого нужно, чтобы производные этих функций в этих точках были равны.

Шаг 1: Найдем производные функций

Производная функции $f(x) = 3 \cos 5x$:

Мы используем правило дифференцирования для произведения константы и функции $\cos 5x$, а также правило цепочки. Производная от $\cos 5x$ по $x$ будет:

$$f'(x) = 3 \cdot \left( \frac{d}{dx} \cos 5x \right)$$ $$f'(x) = 3 \cdot (-5 \sin 5x)$$ $$f'(x) = -15 \sin 5x$$

Производная функции $y = 5 \cos 3x + 2$:

Аналогично, находим производную от $5 \cos 3x$ и от константы. Производная от константы $2$ равна 0, поэтому:

$$g'(x) = 5 \cdot \left( \frac{d}{dx} \cos 3x \right) + 0$$ $$g'(x) = 5 \cdot (-3 \sin 3x)$$ $$g'(x) = -15 \sin 3x$$

Шаг 2: Условие для параллельности касательных

Для того чтобы касательные к графикам функций $f(x)$ и $y = 5 \cos 3x + 2$ были параллельны, их производные должны быть равны:

$$f'(x) = g'(x)$$

Подставляем выражения для производных:

$$-15 \sin 5x = -15 \sin 3x$$

Делим обе стороны на $-15$ (что не изменяет знак неравенства):

$$\sin 5x = \sin 3x$$

Шаг 3: Решим уравнение $\sin 5x = \sin 3x$

Используем формулу разности синусов для упрощения уравнения $\sin 5x = \sin 3x$:

$$\sin 5x — \sin 3x = 0$$

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \sin \left( \frac{A — B}{2} \right) \cos \left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 5x$ и $B = 3x$:

$$2 \sin \left( \frac{5x — 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{5x + 3x}{2} \right) = 0$$ $$2 \sin x \cos 4x = 0$$

Это уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Первое уравнение: $\sin x = 0$

Решаем:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Второе уравнение: $\cos 4x = 0$

Решаем:

$$\cos 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 4: Итоговое решение

Таким образом, для значений $x$, при которых касательные к графикам функций параллельны, решения для $b$ будут следующими:

1. $x = \pi n$
2. $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$

Ответ: $\pi n; \, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.$