ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 394 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/x(5) + log1/x2(12) + 1/2logx(3)=1;
2. 1/2 logx(7) — log1/ корень x(3) — logx2(28)=1.

$\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1$;

$${\log }_{x^{-1}}5+{\log }_{x^{-2}}12+\frac{1}{2}{\log }_{x}3=1;$$

$$\log_{x^{-1}} 5 + \log_{x^{-2}} 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1;$$ $$-{\log }_{x}5-\frac{1}{2}{\log }_{x}12+\frac{1}{2}{\log }_{x}3=1;$$

$$-\log_x 5 — \frac{1}{2} \log_x 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1;$$ $${\log }_x{5}^{-1}-{\log }_x{12}^{\frac{1}{2}}+{\log }_x{3}^{\frac{1}{2}}=1;$$

$$\log_x 5^{-1} — \log_x 12^{\frac{1}{2}} + \log_x 3^{\frac{1}{2}} = 1;$$ $${\log }_x\frac{1}{5}-{\log }_x\sqrt{12}+{\log }_x\sqrt{3}=1;$$

$$\log_x \frac{1}{5} — \log_x \sqrt{12} + \log_x \sqrt{3} = 1;$$ $${\log }_x\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{12}}={\log }_{x}x;$$

$$\log_x \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{12}} = \log_x x;$$ $$x = \frac{\sqrt{3}}{5 \sqrt{12}} = \frac{1}{5 \sqrt{4}} = \frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10} = 0.1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \text{ и } x \neq 1;$$

Ответ: $x = 0.1$.

2. $\frac{1}{2} \log_x 7 — \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 — \log_{x^2} 28 = 1$;

$${\log }_x{7}^{\frac{1}{2}}-{\log }_{x^{-\frac{1}{2}}}3-\frac{1}{2}{\log }_{x}28=1;$$

$$\log_x 7^{\frac{1}{2}} — \log_{x^{-\frac{1}{2}}} 3 — \frac{1}{2} \log_x 28 = 1;$$ $${\log }_x\sqrt{7}+2{\log }_{x}3-{\log }_x{28}^{\frac{1}{2}}=1;$$

$$\log_x \sqrt{7} + 2 \log_x 3 — \log_x 28^{\frac{1}{2}} = 1;$$ $${\log }_x\sqrt{7}+{\log }_x{3}^2-{\log }_x\sqrt{28}=1;$$

$$\log_x \sqrt{7} + \log_x 3^2 — \log_x \sqrt{28} = 1;$$ $${\log }_x\frac{\sqrt{7}\cdot 3^2}{\sqrt{28}}={\log }_{x}x;$$

$$\log_x \frac{\sqrt{7} \cdot 3^2}{\sqrt{28}} = \log_x x;$$ $$x = \frac{\sqrt{7} \cdot 3^2}{\sqrt{28}} = \frac{9}{\sqrt{4}} = \frac{9}{2} = 4.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \text{ и } x \neq 1;$$

Ответ: $x = 4.5$.

Задание 1

$$\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1$$

Шаг 1: Перепишем логарифмы с отрицательными степенями

$$\log_{\frac{1}{x}} 5 = \log_{x^{-1}} 5, \quad \log_{\frac{1}{x^2}} 12 = \log_{x^{-2}} 12$$

Шаг 2: Используем формулу перехода к новому основанию

$$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$$

Также:

$$\log_{x^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} \log_x 5 = -\log_x 5$$ $$\log_{x^{-2}} 12 = \frac{1}{-2} \log_x 12 = -\frac{1}{2} \log_x 12$$ $$\frac{1}{2} \log_x 3 \text{ остаётся без изменений}$$

Шаг 3: Соберем выражение

$$-\log_x 5 — \frac{1}{2} \log_x 12 + \frac{1}{2} \log_x 3 = 1$$

Шаг 4: Используем свойства степеней под логарифмами

$$-\log_x 5 = \log_x \left(\frac{1}{5}\right),\quad — \frac{1}{2} \log_x 12 = \log_x \left(12^{-1/2}\right) = \log_x \left(\frac{1}{\sqrt{12}}\right)$$ $$\frac{1}{2} \log_x 3 = \log_x \sqrt{3}$$

Шаг 5: Объединим всё в один логарифм

$$\log_x \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \sqrt{3} \right) = 1$$ $$\log_x \left( \frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{12}} \right) = 1$$

Шаг 6: Преобразуем правую часть

$$\log_x x = 1$$

Значит:

$$\log_x \left( \frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{12}} \right) = \log_x x \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{12}}$$

Шаг 7: Упростим дробь

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 2 \sqrt{3}} = \frac{1}{10}$$

Шаг 8: Проверка ОДЗ

Условия для логарифмов:

• $x > 0$
• $x \ne 1$

Проверим:

• $x = 0.1 > 0$
• $x \ne 1$

Всё выполняется.

Ответ:

$$\boxed{x = 0.1}$$

Задание 2

$$\frac{1}{2} \log_x 7 — \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 — \log_{x^2} 28 = 1$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

$\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3$

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \Rightarrow \log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2} \log_x 3 = -2 \log_x 3$$

$\log_{x^2} 28 = \frac{1}{2} \log_x 28$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\frac{1}{2} \log_x 7 — (-2 \log_x 3) — \frac{1}{2} \log_x 28 = 1$$ $$\frac{1}{2} \log_x 7 + 2 \log_x 3 — \frac{1}{2} \log_x 28 = 1$$

Шаг 3: Преобразуем логарифмы в один

Применим свойства логарифмов:

• $\frac{1}{2} \log_x 7 = \log_x \sqrt{7}$
• $2 \log_x 3 = \log_x 3^2 = \log_x 9$
• $\frac{1}{2} \log_x 28 = \log_x \sqrt{28}$

$$\log_x \sqrt{7} + \log_x 9 — \log_x \sqrt{28} = \log_x \left( \frac{\sqrt{7} \cdot 9}{\sqrt{28}} \right)$$

Шаг 4: Приравниваем логарифмы

$$\log_x \left( \frac{9 \sqrt{7}}{\sqrt{28}} \right) = 1 = \log_x x \Rightarrow x = \frac{9 \sqrt{7}}{\sqrt{28}}$$

Шаг 5: Упростим выражение

$$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \Rightarrow x = \frac{9 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7}} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Шаг 6: Проверка ОДЗ

Логарифмы определены при:

• $x > 0$
• $x \ne 1$

Проверим:

• $x = 4.5 > 0$
• $x \ne 1$

Условие выполнено.

Ответ:

$$\boxed{x = 4.5}$$