ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 579 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. arccos(2x-3) = пи/3;
2. arccos(x+1)/3 = 2пи/3.

$\arccos(2x — 3) = \frac{\pi}{3}$;

$$\arccos(2x — 3) = \arccos\frac{1}{2};$$ $$2x — 3 = \frac{1}{2};$$ $$2x = 3 + \frac{1}{2};$$ $$2x = \frac{7}{2};$$ $$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75;$$

Ответ: $1,75$.

$\arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$;

$$\arccos\frac{x+1}{3} = \pi — \frac{\pi}{3};$$ $$\arccos\frac{x+1}{3} = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right);$$ $$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2};$$ $$2(x+1) = -3;$$ $$2x + 2 = -3;$$ $$2x = -5;$$ $$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5;$$

Ответ: $x = -2,5$.

1) Решить уравнение:

$$\arccos(2x — 3) = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 1: Область определения

Арккосинус определён только для значений от $-1$ до $1$, значит:

$$-1 \leq 2x — 3 \leq 1$$

Шаг 2: Приравнять аргументы арккосинусов

Из уравнения следует:

$$2x — 3 = \cos \frac{\pi}{3}$$

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Найти $x$

$$2x — 3 = \frac{1}{2}$$

Прибавляем 3 к обеим частям:

$$2x = 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{7}{4} = 1,75$$

Шаг 4: Проверка на область определения

Проверим, входит ли значение $2x — 3$ для найденного $x$ в область определения:

$$2 \cdot 1,75 — 3 = 3,5 — 3 = 0,5$$

Значение $0,5$ входит в отрезок $[-1; 1]$, значит решение корректно.

Ответ:

$$x = 1,75$$

2) Решить уравнение:

$$\arccos \frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 1: Область определения

Поскольку $\arccos y$ определён для $y \in [-1; 1]$, то:

$$-1 \leq \frac{x+1}{3} \leq 1$$

Шаг 2: Используем свойство арккосинуса

Известно, что:

$$\arccos \theta = \pi — \arccos(-\theta)$$

В частности,

$$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$

Поэтому:

$$\arccos \frac{x+1}{3} = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$$

Шаг 3: Приравнять аргументы арккосинусов

$$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Найти $x$

Домножим обе части на 3:

$$x + 1 = -\frac{3}{2}$$

Вычтем 1 из обеих частей:

$$x = -\frac{3}{2} — 1 = -\frac{3}{2} — \frac{2}{2} = -\frac{5}{2} = -2,5$$

Шаг 5: Проверка области определения

Проверим, что $\frac{x+1}{3}$ для найденного $x$ входит в $[-1; 1]$:

$$\frac{-2,5 + 1}{3} = \frac{-1,5}{3} = -0,5$$

Значение $-0,5$ входит в $[-1; 1]$, значит решение корректно.

Ответ:

$$x = -2,5$$