ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 390 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (390—395)

1. 3^4х = 10;
2. 2^3х = 3;
3. 1,3^(3x-2) =3;
4. (1/3)^(5+4x) = 1,5
5. 16х-4^(x+1)- 14 = 0;
6. 25x + 2*5x-15=0.

$3^{4x} = 10$;

$\log_3 3^{4x} = \log_3 10$;

$4x = \log_3 10$;

$x = \frac{\log_3 10}{4} = \frac{\log_3 10}{\log_3 3^4} = \frac{\log_3 10}{\log_3 81} = \log_{81} 10$;

Ответ: $x = \log_{81} 10$.

$2^{3x} = 3$;

$\log_2 2^{3x} = \log_2 3$;

$3x = \log_2 3$;

$x = \frac{\log_2 3}{3} = \frac{\log_2 3}{\log_2 2^3} = \frac{\log_2 3}{\log_2 8} = \log_8 3$;

Ответ: $x = \log_8 3$.

$1{,}3^{3x-2} = 3$;

$\log_{1{,}3} 1{,}3^{3x-2} = \log_{1{,}3} 3$;

$3x — 2 = \log_{1{,}3} 3$;

$3x = \log_{1{,}3} 3 + 2$, отсюда $x = \frac{1}{3} (\log_{1{,}3} 3 + 2)$;

Ответ: $x = \frac{1}{3} (\log_{1{,}3} 3 + 2)$.

$\left( \frac{1}{3} \right)^{5+4x} = 1{,}5$;

$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{5+4x} = \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5$;

$5 + 4x = \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5$;

$4x = \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5 — 5$, отсюда $x = \frac{1}{4} \left( \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5 — 5 \right)$;

Ответ: $x = \frac{1}{4} \left( \log_{\frac{1}{3}} 1{,}5 — 5 \right)$.

$16^x — 4^{x+1} — 14 = 0$;

$4^{2x} — 4 \cdot 4^x — 14 = 0$;

Пусть $y = 4^x$, тогда:

$y^2 — 4y — 14 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 14 = 16 + 56 = 72$, тогда:

$y = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$;

Первое значение:

$4^x = 2 — 3\sqrt{2}$ — нет корней;

Второе значение:

$4^x = 2 + 3\sqrt{2}$;

$\log_4 4^x = \log_4 (2 + 3\sqrt{2})$;

$x = \log_4 (2 + 3\sqrt{2})$;

Ответ: $x = \log_4 (2 + 3\sqrt{2})$.

$25^x + 2 \cdot 5^x — 15 = 0$;

$5^{2x} + 2 \cdot 5^x — 15 = 0$;

Пусть $y = 5^x$, тогда:

$y^2 + 2y — 15 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$, тогда:

$y_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$;

Первое значение:

$5^x = -5$ — нет корней;

Второе значение:

$5^x = 3$;

$\log_5 5^x = \log_5 3$;

$x = \log_5 3$;

Ответ: $x = \log_5 3$.

1) $3^{4x} = 10$

Шаг 1. Применим логарифм по основанию 3:

$$\log_3(3^{4x}) = \log_3(10)$$

Шаг 2. Используем основное логарифмическое тождество:

$$\log_a(a^b) = b \Rightarrow \log_3(3^{4x}) = 4x$$ $$4x = \log_3 10$$

Шаг 3. Выразим $x$:

$$x = \frac{\log_3 10}{4}$$

Шаг 4. Преобразуем знаменатель:

$$\log_3 3^4 = \log_3 81$$

Шаг 5. Используем тождество деления логарифмов:

$$\frac{\log_3 10}{\log_3 81} = \log_{81} 10$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_{81} 10}$$

2) $2^{3x} = 3$

Шаг 1. Применим логарифм по основанию 2:

$$\log_2(2^{3x}) = \log_2(3)$$

Шаг 2. Раскрываем:

$$3x = \log_2 3$$

Шаг 3. Выразим $x$:

$$x = \frac{\log_2 3}{3}$$

Шаг 4. Представим знаменатель как логарифм:

$$\log_2 2^3 = \log_2 8 \Rightarrow x = \frac{\log_2 3}{\log_2 8} = \log_8 3$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_8 3}$$

3) $1.3^{3x-2} = 3$

Шаг 1. Применим логарифм по основанию 1.3:

$$\log_{1.3}(1.3^{3x — 2}) = \log_{1.3}(3)$$

Шаг 2. Раскрываем:

$$3x — 2 = \log_{1.3}(3)$$

Шаг 3. Выразим $x$:

$$3x = \log_{1.3}(3) + 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}(\log_{1.3}(3) + 2)$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{1}{3}(\log_{1.3} 3 + 2)}$$

4) $\left(\frac{1}{3}\right)^{5 + 4x} = 1.5$

Шаг 1. Применим логарифм по основанию $\frac{1}{3}$:

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{5 + 4x}\right) = \log_{\frac{1}{3}}(1.5)$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма:

$$5 + 4x = \log_{\frac{1}{3}}(1.5)$$

Шаг 3. Выразим $x$:

$$4x = \log_{\frac{1}{3}}(1.5) — 5 \Rightarrow x = \frac{1}{4}(\log_{\frac{1}{3}}(1.5) — 5)$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{1}{4}(\log_{\frac{1}{3}} 1.5 — 5)}$$

5) $16^x — 4^{x+1} — 14 = 0$

Шаг 1. Представим 16 как $4^2$:

$$(4^2)^x = 4^{2x}, \quad \text{и} \quad 4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$$

Подставим:

$$4^{2x} — 4 \cdot 4^x — 14 = 0$$

Шаг 2. Замена: $y = 4^x$, тогда:

$$y^2 — 4y — 14 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 14 = 16 + 56 = 72$$ $$y = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$$

Шаг 4. Проверим каждое решение:

• $y = 2 — 3\sqrt{2} < 0 \Rightarrow$ нет корней (степенная функция неотрицательна)
• $y = 2 + 3\sqrt{2} > 0 \Rightarrow$ допустимо

Шаг 5. Вернёмся к переменной:

$$4^x = 2 + 3\sqrt{2} \Rightarrow x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})}$$

6) $25^x + 2 \cdot 5^x — 15 = 0$

Шаг 1. Представим 25 как $5^2$:

$$(5^2)^x = 5^{2x}$$ $$5^{2x} + 2 \cdot 5^x — 15 = 0$$

Шаг 2. Замена: $y = 5^x$, тогда:

$$y^2 + 2y — 15 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64$$ $$y = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} = -5 \quad \text{или} \quad 3$$

• $y = -5 \Rightarrow 5^x = -5$ — не подходит, т.к. $5^x > 0$
• $y = 3 \Rightarrow 5^x = 3$

Шаг 4. Возвращаемся к переменной:

$$x = \log_5(3)$$

Ответ:

$$\boxed{x = \log_5 3}$$