ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 101 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. $x^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{x-\sqrt{2}-1}\right)}^{\sqrt{2}+1}$
2. ${\left(\frac{a^{\sqrt{8}}}{b^{\sqrt{3}}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$

${\mathrm{1.\; x}}^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{x-\sqrt{2}-1}\right)}^{\sqrt{2}+1}=x^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(x^{-(\sqrt{2}+1)}\right)}^{\sqrt{2}+1}=x^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(x^{\sqrt{2}+1}\right)}^{\sqrt{2}+1}=$

$=x^{-2\sqrt{2}}\cdot x^{(\sqrt{2}+1{)}^2}=x^{-2\sqrt{2}+(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}+1}=x^{-2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+1}=x^3$

${\mathrm{}}^{}$Ответ: $x^3$

${2.\; (\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}}-1})}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}=\frac{a^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{b^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}\cdot \frac{b^{-(-2)}}{a^{-(-1-\sqrt{3})}}=\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^{(\sqrt{3}{)}^2-1}}\cdot \frac{b^2}{a^{1+\sqrt{3}}}=$

$=\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{a^{1+\sqrt{3}}}\cdot \frac{b^2}{b^{3-1}}=a^{3+\sqrt{3}-(1+\sqrt{3})}\cdot b^{2-(3-1)}=a^2\cdot b^0=a^2$

Ответ: $a^2$

Задача 1:

$$x^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(\frac{1}{x-\sqrt{2}-1}\right)}^{\sqrt{2}+1}$$

Шаг 1: Преобразуем дробное выражение в степень

$$\frac{1}{x^{\sqrt{2}+1}}=x^{-(\sqrt{2}+1)}$$

Подставляем это в исходное выражение:

$$x^{-2\sqrt{2}}\cdot {\left(x^{-(\sqrt{2}+1)}\right)}^{\sqrt{2}+1}$$

Шаг 2: Раскрываем степень степени

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

$${\left(x^{-(\sqrt{2}+1)}\right)}^{\sqrt{2}+1}=x^{-(\sqrt{2}+1)\cdot (\sqrt{2}+1)}$$

Рассчитаем произведение в показателе степени:

$$(\sqrt{2}+1{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$$

$$x^{-(\sqrt{2}+1{)}^2}=x^{-(3+2\sqrt{2})}$$

Шаг 3: Упрощаем произведение степеней

$$x^{-2\sqrt{2}}\cdot x^{-(3+2\sqrt{2})}=x^{-2\sqrt{2}-(3+2\sqrt{2})}$$

$$=x^{-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}}$$

$$=x^{-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-3}=x^3$$

Ответ:$$x^3$$

Задача 2:

$${\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}$$

Шаг 1: Разделяем показатели степеней

$${\left(\frac{a^{\sqrt{3}}}{b^{\sqrt{3}}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}$$

Используем свойство:

$${\left(\frac{a^m}{b^n}\right)}^p=\frac{a^{m\cdot p}}{b^{n\cdot p}}$$

$$=\frac{a^{\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}+1)}}{b^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}}$$

Шаг 2: Вычисляем показатели степеней

$$\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot 1=3+\sqrt{3}$$

$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}{)}^2-1^2=3-1=2$$

$$=\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^2}$$

Шаг 3: Упрощаем вторую дробь

$$\frac{a^{-1-\sqrt{3}}}{b^{-2}}=a^{-1-\sqrt{3}}\cdot b^{-(-2)}$$

$$=a^{-1-\sqrt{3}}\cdot b^2$$

Шаг 4: Перемножаем полученные выражения

$$\frac{a^{3+\sqrt{3}}}{b^2}\cdot a^{-1-\sqrt{3}}\cdot b^2$$

Группируем показатели степеней отдельно для $a$ и $b$:

$$a^{3+\sqrt{3}}\cdot a^{-1-\sqrt{3}}\cdot b^{-2}\cdot b^2$$

Шаг 5: Складываем показатели степеней

$$a^{(3+\sqrt{3})+(-1-\sqrt{3})}\cdot b^{-2+2}$$

$$=a^{3+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}}\cdot b^0$$

$$=a^{3-1}\cdot b^0=a^2\cdot 1=a^2$$

Ответ:$$a^2$$