ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 296 Алимов — Подробные Ответы

1.$$\frac{\log_2 24 — \frac{1}{2} \log_2 72}{\log_3 18 — \frac{1}{3} \log_3 72} = \frac{\log_2 24 — \log_2 \sqrt{72}}{\log_3 18 — \log_3 \sqrt[3]{72}} = \frac{\log_2 \frac{24}{\sqrt{72}}}{\log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}}} = \frac{\log_2 \sqrt{\frac{24^2}{24 \cdot 3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{18^3}{18^3 \cdot 4}}} =$$ $$= \frac{\log_2 \sqrt{\frac{24}{3}}}{\log_3 \sqrt[3]{\frac{324}{4}}} = \frac{\log_2 \sqrt{8}}{\log_3 \sqrt[3]{81}} = \frac{\log_2 2^{\frac{3}{2}}}{\log_3 3^3} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8};$$

2.$$\frac{\log_7 14 — \frac{1}{3} \log_7 56}{\log_6 30 — \frac{1}{2} \log_6 150} = \frac{\log_7 14 — \log_7 \sqrt[3]{56}}{\log_6 30 — \log_6 \sqrt{150}} = \frac{\log_7 \frac{14}{\sqrt[3]{56}}}{\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}}} = \frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{14^3}{14 \cdot 4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30^2}{30^2 \cdot 5}}} =$$ $$= \frac{\log_7 \sqrt[3]{\frac{196}{4}}}{\log_6 \sqrt{\frac{30}{5}}} = \frac{\log_7 \sqrt[3]{49}}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_7 7^{\frac{2}{3}}}{\log_6 6^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3};$$

3.$$\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3 \log_2 2} = \frac{\log_2 4 + \frac{1}{2} \log_2 (2 \cdot 5)}{\log_2 (4 \cdot 5) + 3} = \frac{\log_2 2^2 + \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 5)}{\log_2 4 + \log_2 5 + 3} =$$ $$= \frac{2 + \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 5)}{\log_2 2^2 + \log_2 5 + 3} = \frac{\frac{1}{2} (4 + 1 + \log_2 5)}{2 + \log_2 5 + 3} = \frac{\frac{1}{2} (5 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5} = \frac{1}{2};$$

4.$$\frac{3 \log_7 2 — \frac{1}{2} \log_7 64}{4 \log_5 2 + \frac{1}{3} \log_5 27} = \frac{\log_7 2^3 — \log_7 \sqrt{64}}{\log_5 2^4 + \log_5 \sqrt[3]{27}} = \frac{\log_7 8 — \log_7 8}{\log_5 16 + \log_5 3} = 0;$$

1)

$$\frac{\log_2 24 — \frac{1}{2} \log_2 72}{\log_3 18 — \frac{1}{3} \log_3 72}$$

Шаг 1. Перепишем выражения с дробными коэффициентами у логарифмов через корни:

$$\frac{\log_2 24 — \log_2 \sqrt{72}}{\log_3 18 — \log_3 \sqrt[3]{72}}$$

Пояснение: $\frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 72^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{72}$, аналогично для кубического корня.

Шаг 2. Применяем разность логарифмов как логарифм частного:

$$\frac{\log_2 \frac{24}{\sqrt{72}}}{\log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}}}$$

Шаг 3. Упростим числитель:

$$\frac{24}{\sqrt{72}} = \frac{24}{\sqrt{24 \cdot 3}} = \frac{24}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{24} \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{3}}$$

Обозначим $\sqrt{24} = 24^{1/2}$, тогда

$$\frac{24}{\sqrt{24} \sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{24 \cdot 3}} = \frac{24}{\sqrt{72}}$$

Но это возвращает нас к исходному выражению. Чтобы упростить, умножим и поделим числитель под корнем:

$$\frac{24}{\sqrt{72}} = \sqrt{\frac{24^2}{72}} = \sqrt{\frac{576}{72}} = \sqrt{8}$$

Шаг 4. Аналогично упростим знаменатель:

$$\frac{18}{\sqrt[3]{72}} = \sqrt[3]{\frac{18^3}{72}} = \sqrt[3]{\frac{5832}{72}} = \sqrt[3]{81}$$

Шаг 5. Подставляем упрощённые выражения обратно:

$$\frac{\log_2 \sqrt{8}}{\log_3 \sqrt[3]{81}}$$

Шаг 6. Представляем числа под корнями через степени:

$$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$ $$\sqrt[3]{81} = 81^{\frac{1}{3}} = (3^4)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}}$$

Шаг 7. Записываем логарифмы с учётом степеней:

$$\frac{\log_2 2^{\frac{3}{2}}}{\log_3 3^{\frac{4}{3}}}$$

Шаг 8. Используем свойство логарифма степени:

$$\log_a a^k = k$$

Тогда числитель:

$$\log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$$

Знаменатель:

$$\log_3 3^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3}$$

Шаг 9. Теперь выражение равно:

$$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{1}{8}}$$

2)

$$\frac{\log_7 14 — \frac{1}{3} \log_7 56}{\log_6 30 — \frac{1}{2} \log_6 150}$$

Шаг 1. Переписываем логарифмы с дробными коэффициентами через корни:

$$\frac{\log_7 14 — \log_7 \sqrt[3]{56}}{\log_6 30 — \log_6 \sqrt{150}} = \frac{\log_7 \frac{14}{\sqrt[3]{56}}}{\log_6 \frac{30}{\sqrt{150}}}$$

Шаг 2. Упростим числитель:

$$\frac{14}{\sqrt[3]{56}} = \sqrt[3]{\frac{14^3}{56}} = \sqrt[3]{\frac{2744}{56}} = \sqrt[3]{49}$$

Пояснение: $14^3 = 14 \times 14 \times 14 = 2744$.

Шаг 3. Упростим знаменатель:

$$\frac{30}{\sqrt{150}} = \sqrt{\frac{30^2}{150}} = \sqrt{\frac{900}{150}} = \sqrt{6}$$

Шаг 4. Подставляем обратно:

$$\frac{\log_7 \sqrt[3]{49}}{\log_6 \sqrt{6}}$$

Шаг 5. Представляем корни в виде степеней:

$$\sqrt[3]{49} = 49^{\frac{1}{3}} = (7^2)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{3}}$$ $$\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 6. Выражаем логарифмы:

$$\frac{\log_7 7^{\frac{2}{3}}}{\log_6 6^{\frac{1}{2}}}$$

Шаг 7. Используем свойство логарифма степени:

$$\log_a a^k = k$$

Тогда:

$$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{1 \frac{1}{3}}$$

3)

$$\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3 \log_2 2}$$

Шаг 1. Переписываем корень как степень:

$$\log_2 \sqrt{10} = \frac{1}{2} \log_2 10 = \frac{1}{2} \log_2 (2 \cdot 5) = \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 5)$$

Шаг 2. Переписываем знаменатель:

$$\log_2 20 + 3 \log_2 2 = \log_2 (4 \cdot 5) + 3 \cdot 1 = \log_2 4 + \log_2 5 + 3$$

Пояснение: $\log_2 20 = \log_2 (4 \cdot 5) = \log_2 4 + \log_2 5$, и $\log_2 2 = 1$.

Шаг 3. Подставляем числитель:

$$\log_2 4 + \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 5) = 2 + \frac{1}{2} (1 + \log_2 5)$$

Пояснение: $\log_2 4 = 2$, $\log_2 2 = 1$.

Шаг 4. Подставляем знаменатель:

$$\log_2 4 + \log_2 5 + 3 = 2 + \log_2 5 + 3 = 5 + \log_2 5$$

Шаг 5. Итоговое выражение:

$$\frac{2 + \frac{1}{2} (1 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5} = \frac{\frac{1}{2} (4 + 1 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5} = \frac{\frac{1}{2} (5 + \log_2 5)}{5 + \log_2 5}$$

Шаг 6. Сокращаем:

$$\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

4)

$$\frac{3 \log_7 2 — \frac{1}{2} \log_7 64}{4 \log_5 2 + \frac{1}{3} \log_5 27}$$

Шаг 1. Переписываем степени:

$$3 \log_7 2 = \log_7 2^3 = \log_7 8$$ $$\frac{1}{2} \log_7 64 = \log_7 64^{\frac{1}{2}} = \log_7 8$$

Шаг 2. Аналогично для знаменателя:

$$4 \log_5 2 = \log_5 2^4 = \log_5 16$$ $$\frac{1}{3} \log_5 27 = \log_5 27^{\frac{1}{3}} = \log_5 3$$

Шаг 3. Подставляем в выражение:

$$\frac{\log_7 8 — \log_7 8}{\log_5 16 + \log_5 3} = \frac{0}{\log_5 (16 \cdot 3)} = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$