ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 740 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. tg х > 4;
2. tg х < = 5;
3. tgx < -4;
4. tgx > = -5.

1. $\operatorname{tg} x > 4$;
   $\arctg 4 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
2. $\operatorname{tg} x \leq 5$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \arctg 5 + \pi n$;
3. $\operatorname{tg} x < -4$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg(-4) + \pi n$;
   $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\arctg 4 + \pi n$;
4. $\operatorname{tg} x \geq -5$;
   $\arctg(-5) + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $-\arctg 5 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Найти решения неравенств, заданных через функцию тангенс, с учётом особенностей и периодичности функции $\tg x$.

Важные сведения по функции тангенс

• Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$:

$$\tg(x + \pi) = \tg x$$

• Область определения — все $x$, кроме точек

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

где функция не определена (вертикальные асимптоты).

• На промежутках между асимптотами функция строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$.
• Обратная функция арктангенс:

$$y = \tg x \quad \Rightarrow \quad x = \arctg y, \quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

Решение неравенств

Общее правило для неравенств с тангенсом:

• Для $\tg x > a$ (если $a$ фиксировано) на каждом интервале между асимптотами

$$\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

решение — промежуток справа от точки $x = \arctg a + \pi n$:

$$\arctg a + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

• Для $\tg x < a$ — промежуток слева от этой точки:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg a + \pi n$$

• Если неравенство содержит $\geq$ или $\leq$, то соответствующая граница включается в решение.

1) Неравенство

$$\tg x > 4$$

Шаг 1: Найдём $\arctg 4$

Числовое приближение:

$$\arctg 4 \approx 1.3258$$

(в радианах, в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$)

Шаг 2: Запишем решение

Поскольку $\tg x$ возрастает на каждом промежутке

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$$

и нам нужно найти $x$ с $\tg x > 4$, то

$$x \in \left( \arctg 4 + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

то есть

$$\arctg 4 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2) Неравенство

$$\tg x \leq 5$$

Шаг 1: Найдём $\arctg 5$

Приближённо

$$\arctg 5 \approx 1.3734$$

Шаг 2: Запишем решение

Для $\tg x \leq 5$ — значения тангенса меньше или равны $5$.

Поскольку тангенс возрастает на промежутках между асимптотами, решение — промежуток

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \arctg 5 + \pi n \right]$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \arctg 5 + \pi n$$

3) Неравенство

$$\tg x < -4$$

Шаг 1: Найдём $\arctg (-4)$

Используем свойство арктангенса:

$$\arctg (-a) = -\arctg a$$

Тогда

$$\arctg (-4) = -\arctg 4 \approx -1.3258$$

Шаг 2: Запишем решение

Для $\tg x < -4$, то есть $\tg x < a$ с $a < 0$.

На промежутке между асимптотами функция растёт от $-\infty$ до $+\infty$, следовательно решение — промежуток

$$\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \arctg (-4) + \pi n \right)$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\arctg 4 + \pi n$$

4) Неравенство

$$\tg x \geq -5$$

Шаг 1: Найдём $\arctg (-5)$

$$\arctg (-5) = -\arctg 5 \approx -1.3734$$

Шаг 2: Запишем решение

Для $\tg x \geq -5$ — значения тангенса больше или равны $-5$.

Поскольку тангенс растёт на каждом промежутке,

решение — промежуток справа от точки $\arctg (-5) + \pi n$, включая эту точку:

$$\left[ \arctg (-5) + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

то есть

$$\arctg (-5) + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

или, заменив $\arctg (-5) = -\arctg 5$,

$$-\arctg 5 + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$