ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 787 Алимов — Подробные Ответы

Найти производную функции (787—792).

1. x6;
2. x7;
3. x11;
4. x13.

1. $f(x) = x^6$;
   $f'(x) = (x^6)’ = 6x^{6-1} = 6x^5$;
2. $f(x) = x^7$;
   $f'(x) = (x^7)’ = 7x^{7-1} = 7x^6$;
3. $f(x) = x^{11}$;
   $f'(x) = (x^{11})’ = 11x^{11-1} = 11x^{10}$;
4. $f(x) = x^{13}$;
   $f'(x) = (x^{13})’ = 13x^{13-1} = 13x^{12}$

Пример 1:

Дано: $f(x) = x^6$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Для этого используем правило дифференцирования степенных функций, которое гласит:

$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1}$$

где $n$ — степень числа $x$.

1. $f(x) = x^6$. Здесь степень $n = 6$.
2. Применяем правило дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^6 \right) = 6 \cdot x^{6-1} = 6 \cdot x^5$$

Таким образом, производная функции $f(x) = x^6$ равна $f'(x) = 6x^5$.

Пример 2:

Дано: $f(x) = x^7$

1. Для $f(x) = x^7$, степень $n = 7$.
2. Применяем то же самое правило дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^7 \right) = 7 \cdot x^{7-1} = 7 \cdot x^6$$

Ответ: производная $f(x) = x^7$ равна $f'(x) = 7x^6$.

Пример 3:

Дано: $f(x) = x^{11}$

1. В этом случае степень $n = 11$.
2. По правилу дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{11} \right) = 11 \cdot x^{11-1} = 11 \cdot x^{10}$$

Ответ: производная $f(x) = x^{11}$ равна $f'(x) = 11x^{10}$.

Пример 4:

Дано: $f(x) = x^{13}$

1. В этом случае степень $n = 13$.
2. Применяем стандартное правило дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{13} \right) = 13 \cdot x^{13-1} = 13 \cdot x^{12}$$

Ответ: производная $f(x) = x^{13}$ равна $f'(x) = 13x^{12}$.

Итоговые выводы:

Для всех этих примеров мы использовали стандартное правило дифференцирования степенных функций, которое позволяет получить производную путем умножения коэффициента степени на одну степень меньшую, чем исходная степень.

1. $f(x) = x^6$ => $f'(x) = 6x^5$
2. $f(x) = x^7$ => $f'(x) = 7x^6$
3. $f(x) = x^{11}$ => $f'(x) = 11x^{10}$
4. $f(x) = x^{13}$ => $f'(x) = 13x^{12}$