ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 841 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) равно 0:

1. f (х) = х — cos х;
2. f (х) = 1/2х — sin х;
3. f (х) = 2 ln (х + 3) — х;
4. f (x) = In (х 4- 1) — 2х;
5. f (х) = х2 + 2х — 12 ln х;
6. f (х) = х2 — 6х — 8 ln х.

1) $f(x) = x — \cos x$;
$f'(x) = (x)’ — (\cos x)’ = 1 + \sin x$;
Производная равна нулю при:
$1 + \sin x = 0$;
$\sin x = -1$;
$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $f(x) = \frac{1}{2}x — \sin x$;
$f'(x) = \left(\frac{1}{2}x\right)’ — (\sin x)’ = \frac{1}{2} — \cos x$;
Производная равна нулю при:
$\frac{1}{2} — \cos x = 0$;
$\cos x = \frac{1}{2}$;
$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

3) $f(x) = 2 \ln(x+3) — x$;
$f'(x) = 2 \cdot (\ln(x+3))’ — (x)’ = \frac{2}{x+3} — 1$;
Производная равна нулю при:
$\frac{2}{x+3} — 1 = 0$;
$\frac{2}{x+3} = 1$;
$x + 3 = 2$, отсюда $x = -1$;
Ответ: $-1$.

4) $f(x) = \ln(x+1) — 2x$;
$f'(x) = (\ln(x+1))’ — (2x)’ = \frac{1}{x+1} — 2$;
Производная равна нулю при:
$\frac{1}{x+1} — 2 = 0$;
$\frac{1}{x+1} = 2$;
$2(x+1) = 1$;
$2x + 2 = 1$;
$2x = -1$, отсюда $x = -0.5$;
Ответ: $-0.5$.

5) $f(x) = x^2 + 2x — 12 \ln x$;
$f'(x) = (x^2)’ + (2x)’ — 12 \cdot (\ln x)’ = 2x + 2 — \frac{12}{x}$;
Производная равна нулю при:
$2x + 2 — \frac{12}{x} = 0$;
$2x^2 + 2x — 12 = 0$;
$x^2 + x — 6 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;
Ответ: $-3; 2$.

6) $f(x) = x^2 — 6x — 8 \ln x$;
$f'(x) = (x^2)’ — (6x)’ — 8 \cdot (\ln x)’ = 2x — 6 — \frac{8}{x}$;
Производная равна нулю при:
$2x — 6 — \frac{8}{x} = 0$;
$2x^2 — 6x — 8 = 0$;
$x^2 — 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;
Ответ: $-1; 4$.

1) $f(x) = x — \cos x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) — \frac{d}{dx}(\cos x) = 1 + \sin x$$

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю:

$$f'(x) = 1 + \sin x = 0$$ $$\sin x = -1$$

Мы знаем, что $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, решение:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $f(x) = \frac{1}{2}x — \sin x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right) — \frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{1}{2} — \cos x$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = \frac{1}{2} — \cos x = 0$$ $$\cos x = \frac{1}{2}$$

Зная, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, получаем:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

3) $f(x) = 2 \ln(x+3) — x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x+3)) — \frac{d}{dx}(x) = \frac{2}{x+3} — 1$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = \frac{2}{x+3} — 1 = 0$$ $$\frac{2}{x+3} = 1$$

Решаем это уравнение:

$$x + 3 = 2$$ $$x = -1$$

Ответ: $x = -1$.

4) $f(x) = \ln(x+1) — 2x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x+1)) — \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{x+1} — 2$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = \frac{1}{x+1} — 2 = 0$$ $$\frac{1}{x+1} = 2$$

Решаем это уравнение:

$$x + 1 = \frac{1}{2}$$ $$2(x + 1) = 1$$ $$2x + 2 = 1$$ $$2x = -1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $x = -0.5$.

5) $f(x) = x^2 + 2x — 12 \ln x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) — 12 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$$ $$f'(x) = 2x + 2 — \frac{12}{x}$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 2x + 2 — \frac{12}{x} = 0$$

Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x(2x + 2) — 12 = 0$$ $$2x^2 + 2x — 12 = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 5}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Ответ: $x = -3, 2$.

6) $f(x) = x^2 — 6x — 8 \ln x$

Найдем производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(6x) — 8 \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$$ $$f'(x) = 2x — 6 — \frac{8}{x}$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$f'(x) = 2x — 6 — \frac{8}{x} = 0$$

Умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x(2x — 6) — 8 = 0$$ $$2x^2 — 6x — 8 = 0$$

Разделим обе части на 2:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Ответ: $x = -1, 4$.