ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1526 Алимов — Подробные Ответы

В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а. При каком значении а объём пирамиды будет наибольшим?

Отобразим условие задачи:

Так как объем конуса уже известен, то высота конуса (и пирамиды), а также радиус его основания неизменны, то есть задача сводится к нахождению значения $a$, при котором площадь треугольника в основании пирамиды будет наибольшей.

Пусть $b$ — длина равных сторон основания пирамиды, $c$ — длина его основания и $R$ — радиус основания конуса.

Длина основания пирамиды:

$$c = 2R \cdot \sin a$$

Величина равных углов:

$$\frac{1}{2} \cdot (\pi — a) = \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2}$$

Согласно теореме синусов:

$$\frac{c}{\sin a} = \frac{b}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2} \right)}$$ $$b = \frac{c \cdot \cos \frac{a}{2}}{\sin a} = \frac{2R \cdot \sin a \cdot \cos \frac{a}{2}}{\sin a} = 2R \cdot \cos \frac{a}{2}$$

Площадь основания пирамиды:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin a = \frac{4R^2 \cdot \cos^2 \frac{a}{2}}{2} \cdot \sin a = 2R^2 \cdot \cos^2 \frac{a}{2} \cdot \sin a$$ $$S(a) = 2R^2 \cdot \frac{1 + \cos a}{2} \cdot \sin a = R^2 \cdot (1 + \cos a) \cdot \sin a$$

Производная функции:

$$S'(a) = R^2 \cdot \left( (1 + \cos a)’ \cdot \sin a + (1 + \cos a) \cdot (\sin a)’ \right)$$ $$S'(a) = R^2 \cdot \left( -\sin a \cdot \sin a + (1 + \cos a) \cdot \cos a \right)$$ $$S'(a) = R^2 \cdot \left( \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a \right)$$

Промежуток возрастания:

$$\cos^2 a + \cos a — \sin^2 a > 0$$ $$\cos^2 a + \cos a — (1 — \cos^2 a) > 0$$ $$2 \cos^2 a + \cos a — 1 > 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$\cos a_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad \cos a_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$ $$(\cos a + 1) \left( \cos a — \frac{1}{2} \right) > 0$$ $$\cos a < -1 \quad \text{и} \quad \cos a > \frac{1}{2}$$

Первое значение:

$$\cos a < -1 \quad \text{— нет корней;}$$

Второе значение:

$$\cos a > \frac{1}{2};$$ $$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < a < \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < a < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Искомые значения:

$$a = \frac{\pi}{3} \quad \text{— точка максимума.}$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{3}}$.

1. Определение геометрии задачи

Мы работаем с пирамидой, основание которой — это равнобедренный треугольник. Основными параметрами этой пирамиды являются:

• $b$ — длина равных сторон основания пирамиды,
• $c$ — длина основания пирамиды,
• $R$ — радиус основания конуса, в который вписана пирамида.

Кроме того, известно, что угол между боковыми сторонами пирамиды — это угол $a$, который мы и должны оптимизировать, чтобы максимизировать площадь основания пирамиды.

2. Длина основания пирамиды

Основание пирамиды представляет собой треугольник, где его основание $c$ связано с углом $a$ следующим образом. Так как основание пирамиды — это отрезок, соединяющий вершины боковых граней, и оно связано с радиусом основания конуса $R$, то длина основания вычисляется через формулу:

$$c = 2R \cdot \sin a$$

Это выражение показывает, что длина основания треугольника зависит от радиуса основания конуса и угла $a$.

3. Длина боковой стороны пирамиды

Теперь, используя теорему синусов, мы можем выразить длину боковой стороны $b$ пирамиды через угол $a$ и радиус основания конуса $R$. Теорема синусов в треугольнике, в котором один угол $\frac{\pi}{2} — \frac{a}{2}$ и противоположный катет $b$, дает следующее выражение:

$$\frac{c}{\sin a} = \frac{b}{\sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2} \right)}$$

Используя тригонометрическое тождество $\sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2} \right) = \cos \frac{a}{2}$, получаем:

$$b = \frac{c \cdot \cos \frac{a}{2}}{\sin a}$$

Подставляем выражение для $c = 2R \sin a$ и упрощаем:

$$b = \frac{2R \sin a \cdot \cos \frac{a}{2}}{\sin a} = 2R \cos \frac{a}{2}$$

Таким образом, длина боковой стороны $b$ пирамиды зависит от радиуса основания конуса и угла $a$.

4. Площадь основания пирамиды

Теперь мы можем вычислить площадь основания пирамиды. Основание представляет собой равнобедренный треугольник, для которого площадь $S(a)$ вычисляется по формуле для площади треугольника:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin a$$

Подставляем выражение для $b = 2R \cos \frac{a}{2}$:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot (2R \cos \frac{a}{2}) \cdot (2R \cos \frac{a}{2}) \cdot \sin a$$ $$S(a) = 2R^2 \cdot \cos^2 \frac{a}{2} \cdot \sin a$$

Теперь упростим это выражение, используя тригонометрическое тождество $\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2}$:

$$S(a) = 2R^2 \cdot \frac{1 + \cos a}{2} \cdot \sin a$$ $$S(a) = R^2 \cdot (1 + \cos a) \cdot \sin a$$

Таким образом, площадь основания пирамиды как функция угла $a$ записана в виде:

$$S(a) = R^2 \cdot (1 + \cos a) \cdot \sin a$$

5. Производная функции площади

Для нахождения угла $a$, при котором площадь основания максимальна, нужно найти производную функции $S(a)$ и приравнять её к нулю.

Вычислим производную функции $S(a)$:

$$S'(a) = R^2 \cdot \left( (1 + \cos a)’ \cdot \sin a + (1 + \cos a) \cdot (\sin a)’ \right)$$ $$S'(a) = R^2 \cdot \left( -\sin a \cdot \sin a + (1 + \cos a) \cdot \cos a \right)$$ $$S'(a) = R^2 \cdot \left( \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a \right)$$

Таким образом, производная функции площади $S'(a)$ выглядит как:

$$S'(a) = R^2 \cdot \left( \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a \right)$$

6. Нахождение критических точек

Для нахождения точек экстремума, приравняем производную к нулю:

$$R^2 \cdot \left( \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a \right) = 0$$

Поскольку $R^2 \neq 0$, то остаётся:

$$\cos a + \cos^2 a — \sin^2 a = 0$$

Используем тождество $\sin^2 a = 1 — \cos^2 a$, чтобы упростить уравнение:

$$\cos a + \cos^2 a — (1 — \cos^2 a) = 0$$ $$\cos a + \cos^2 a — 1 + \cos^2 a = 0$$ $$2 \cos^2 a + \cos a — 1 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$ $$\cos a_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1, \quad \cos a_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, мы имеем два корня:

$$\cos a = -1 \quad \text{и} \quad \cos a = \frac{1}{2}$$

Первый корень ($\cos a = -1$) невозможен, так как угол $a$ не может быть равен $\pi$ для данной геометрии. Оставляем второй корень:

$$\cos a = \frac{1}{2}$$

7. Определение значений угла $a$

Из условия $\cos a = \frac{1}{2}$ находим:

$$a = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Таким образом, угловая величина, при которой площадь основания пирамиды максимальна, равна $\frac{\pi}{3}$.

8. Ответ

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{3}}$.