ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 432 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (432—433).

1. sin 3пи/cos 3пи/2;
2. cos0-cos3пи+cos3,5пи;
3. sinпиk + cosпиk, k принадлежит Z;
4. (cos(2пиk+1)пи)/2 — sin ((4k+1)пи)/2, k принадлежит Z.

1. $\sin 3\pi — \cos \frac{3\pi}{2} = \sin(\pi + 2\pi) — 0 = \sin \pi = 0;$
2. $\cos 0 — \cos 3\pi + \cos 3,5\pi = 1 — \cos(\pi + 2\pi) + \cos(1,5\pi + 2\pi) =$

   $$= 1 — \cos \pi + \cos 1,5\pi = 1 — (-1) + \cos \frac{3\pi}{2} = 1 + 1 + 0 = 2;$$

3. $\sin(\pi k) + \cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1;$
4. $\cos \frac{(2k+1)\pi}{2} — \sin \frac{(4k+1)\pi}{2} = \cos \frac{2k\pi + \pi}{2} — \sin \frac{8k\pi + \pi}{2} =$

   $$= \cos \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) — \sin \left( \frac{\pi}{2} + 4\pi k \right) = 0 — \sin \frac{\pi}{2} = -1;$$

1) Выражение:

$$\sin 3\pi — \cos \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1. Разложим $\sin 3\pi$ по известной формуле:

$3\pi = \pi + 2\pi$, а синус — функция с периодом $2\pi$, следовательно:

$$\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin \pi.$$

Шаг 2. Определим $\sin \pi$:

Из таблицы значений тригонометрических функций:

$$\sin \pi = 0.$$

Шаг 3. Рассчитаем $\cos \frac{3\pi}{2}$:

Из таблицы значений:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = 0.$$

Шаг 4. Подставим в выражение:

$$\sin 3\pi — \cos \frac{3\pi}{2} = 0 — 0 = 0.$$

Ответ для пункта 1:

$$0.$$

2) Выражение:

$$\cos 0 — \cos 3\pi + \cos 3,5\pi$$

Шаг 1. Определим $\cos 0$:

$$\cos 0 = 1,$$

так как косинус в нуле равен 1.

Шаг 2. Разложим $\cos 3\pi$:

Как в предыдущей задаче, $3\pi = \pi + 2\pi$:

$$\cos 3\pi = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi.$$

Из таблицы:

$$\cos \pi = -1.$$

Шаг 3. Разложим $\cos 3,5\pi$:

Запишем в виде суммы:

$$3,5\pi = 1,5\pi + 2\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi,$$

и применим периодичность:

$$\cos 3,5\pi = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{3\pi}{2}.$$

Из таблицы:

$$\cos \frac{3\pi}{2} = 0.$$

Шаг 4. Подставим все значения в исходное выражение:

$$\cos 0 — \cos 3\pi + \cos 3,5\pi = 1 — (-1) + 0 = 1 + 1 + 0 = 2.$$

Ответ для пункта 2:

$$2.$$

3) Выражение:

$$\sin(\pi k) + \cos(2\pi k),$$

где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 1. Рассмотрим $\sin(\pi k)$:

Синус от целого кратного $\pi$ равен нулю:

$$\sin(\pi k) = 0 \quad \forall k \in \mathbb{Z},$$

поскольку синус равен нулю в точках $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$.

Шаг 2. Рассмотрим $\cos(2\pi k)$:

Косинус от целого кратного $2\pi$ равен единице:

$$\cos(2\pi k) = 1 \quad \forall k \in \mathbb{Z},$$

так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, и в точках $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$ равен 1.

Шаг 3. Сложим:

$$\sin(\pi k) + \cos(2\pi k) = 0 + 1 = 1.$$

Ответ для пункта 3:

$$1.$$

4) Выражение:

$$\cos \frac{(2k+1)\pi}{2} — \sin \frac{(4k+1)\pi}{2},$$

где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 1. Разложим аргументы:

$$\frac{(2k+1)\pi}{2} = \frac{2k\pi + \pi}{2} = \pi k + \frac{\pi}{2}.$$

Аналогично,

$$\frac{(4k+1)\pi}{2} = \frac{4k\pi + \pi}{2} = 2\pi k + \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2. Подставим в исходное выражение:

$$\cos \left(\pi k + \frac{\pi}{2}\right) — \sin \left(2\pi k + \frac{\pi}{2}\right).$$

Шаг 3. Используем периодичность:

• Для косинуса:

$$\cos\left(\pi k + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right).$$

Так как косинус периодичен с периодом $2\pi$, а $\pi k$ — целое кратное $\pi$, можно учитывать, что:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k \mod 2\pi\right).$$

Из свойств косинуса:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = 0,$$

потому что

$$\cos \frac{\pi}{2} = 0,$$

и при добавлении $\pi$ меняется знак, но значение по модулю остается 0 (все точки вида $\frac{\pi}{2} + n\pi$ имеют косинус равный 0).

Шаг 4. Рассмотрим синус:

$$\sin \left(2\pi k + \frac{\pi}{2}\right).$$

Период функции $2\pi$ значит:

$$\sin \left(2\pi k + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Шаг 5. Итог:

$$\cos \frac{(2k+1)\pi}{2} — \sin \frac{(4k+1)\pi}{2} = 0 — 1 = -1.$$

Ответ для пункта 4:

$$-1.$$