ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1555 Алимов — Подробные Ответы

Определить знак числа f'(2), если:

1. f(x)=e(3-2x)*x2;
2. f(x)= x2/e^(1-x).

1) $f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$;

$f'(x) = (e^{3-2x})’ \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot (x^2)’$;

$f'(x) = -2e^{3-2x} \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot 2x = 2xe^{3-2x} \cdot (1-x)$;

$f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{3-2 \cdot 2} \cdot (1-2) = 4e^{-1} \cdot (-1) = -\frac{4}{e}$;

Ответ: $f'(2) < 0$.

2) $f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}$;

$f'(x) = \frac{(x^2)’ \cdot e^{1-x} — x^2 \cdot (e^{1-x})’}{(e^{1-x})^2}$;

$f'(x) = \frac{2x \cdot e^{1-x} — x^2 \cdot (-1e^{1-x})}{(e^{1-x})^2} = \frac{2x + x^2}{e^{1-x}}$;

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2^2}{e^{1-2}} = \frac{4 + 4}{e^{-1}} = 8e$;

Ответ: $f'(2) > 0$.

Задание 1

Дана функция:

$$f(x) = e^{3-2x} \cdot x^2$$

Нам нужно найти производную этой функции.

Шаг 1: Применяем правило произведения

Для функции вида $f(x) = g(x) \cdot h(x)$ применяем правило произведения:

$$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x),$$

где $g(x) = e^{3-2x}$ и $h(x) = x^2$.

Шаг 2: Находим производные $g(x)$ и $h(x)$

• Для функции $g(x) = e^{3-2x}$ применяем цепное правило. Производная от $e^u$, где $u = 3 — 2x$, равна $e^u \cdot u’$:

$$g'(x) = e^{3-2x} \cdot (-2) = -2e^{3-2x}.$$

• Для функции $h(x) = x^2$, её производная — это стандартная производная степени:

$$h'(x) = 2x.$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной функции $f(x)$:

$$f'(x) = (-2e^{3-2x}) \cdot x^2 + e^{3-2x} \cdot 2x.$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = -2e^{3-2x} \cdot x^2 + 2x \cdot e^{3-2x}.$$

Вынесем общий множитель $e^{3-2x}$:

$$f'(x) = 2x e^{3-2x} \cdot (1 — x).$$

Шаг 4: Находим $f'(2)$

Теперь найдём производную функции в точке $x = 2$, подставив $x = 2$ в выражение для $f'(x)$:

$$f'(2) = 2 \cdot 2 \cdot e^{3-2 \cdot 2} \cdot (1 — 2).$$

Посчитаем:

$$f'(2) = 4 \cdot e^{3-4} \cdot (-1) = 4 \cdot e^{-1} \cdot (-1) = -\frac{4}{e}.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, производная в точке $x = 2$ равна:

$$f'(2) = -\frac{4}{e}.$$

Это означает, что $f'(2) < 0$.

Ответ: $f'(2) < 0$.

Задание 2

Дана функция:

$$f(x) = \frac{x^2}{e^{1-x}}.$$

Нам нужно найти производную этой функции.

Шаг 1: Применяем правило частного

Для функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ применяем правило дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2},$$

где $g(x) = x^2$ и $h(x) = e^{1-x}$.

Шаг 2: Находим производные $g(x)$ и $h(x)$

• Для функции $g(x) = x^2$ её производная:

$$g'(x) = 2x.$$

• Для функции $h(x) = e^{1-x}$ применяем цепное правило. Производная от $e^{u}$, где $u = 1 — x$, равна $e^{u} \cdot u’$:

$$h'(x) = e^{1-x} \cdot (-1) = -e^{1-x}.$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{2x \cdot e^{1-x} — x^2 \cdot (-e^{1-x})}{(e^{1-x})^2}.$$

Упростим выражение:

$$f'(x) = \frac{2x \cdot e^{1-x} + x^2 \cdot e^{1-x}}{(e^{1-x})^2}.$$

Вынесем общий множитель $e^{1-x}$ в числителе:

$$f'(x) = \frac{e^{1-x} (2x + x^2)}{e^{2(1-x)}} = \frac{2x + x^2}{e^{1-x}}.$$

Шаг 4: Находим $f'(2)$

Теперь найдём производную функции в точке $x = 2$, подставив $x = 2$ в выражение для $f'(x)$:

$$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 + 2^2}{e^{1-2}} = \frac{4 + 4}{e^{-1}} = \frac{8}{e^{-1}} = 8e.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, производная в точке $x = 2$ равна:

$$f'(2) = 8e.$$

Это означает, что $f'(2) > 0$.

Ответ: $f'(2) > 0$.