ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 42 Алимов — Подробные Ответы

1. ( корень 6 степени 7^3)2;
2. ( корень 6 степени 9)^-3;
3. ( корень 10 степени 32)2;
4. ( корень 8 степени 16)^-4.

1. $(\sqrt[6]{73}{)}^2=\sqrt[6]{(73{)}^2}=\sqrt[6]{76}=7;$
2. $(\sqrt[6]{9}{)}^{-3}=\sqrt[6]{9^{-3}}=\sqrt[6]{(3^2{)}^{-3}}=\sqrt[6]{3^{-6}}=\sqrt[6]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^6}=\frac{1}{3};$
3. $(\sqrt[10]{32}{)}^2=\sqrt[10]{{32}^2}=\sqrt[10]{(2^5{)}^2}=\sqrt[10]{2^{10}}=2;$
4. $(\sqrt[8]{16}{)}^{-4}=\sqrt[8]{{16}^{-4}}=\sqrt[8]{(4^2{)}^{-4}}=\sqrt[8]{4^{-8}}=\sqrt[8]{{\left(\frac{1}{4}\right)}^8}=\frac{1}{4}\mathrm{.}$

$\frac{1}{4}$1) $(\sqrt[6]{7^3}{)}^2$

Здесь у нас корень шестой степени и возведение в квадрат.
Шаг 1: Воспользуемся свойством радикалов:

$$(\sqrt[n]{a^m}{)}^k=\sqrt[n]{a^{m\cdot k}}$$

Применяем его:

$$(\sqrt[6]{7^3}{)}^2=\sqrt[6]{(7^3{)}^2}$$

Шаг 2: Перемножаем показатели степени:

$$\sqrt[6]{7^{3\cdot 2}}=\sqrt[6]{7^6}$$

Шаг 3: Так как степень под корнем совпадает со знаменателем корня, получаем:

$$\sqrt[6]{7^6}=7^{6\mathrm{/}6}=7^1=7$$

Ответ: 7

2) $(\sqrt[6]{9}{)}^{-3}$

Здесь у нас радикал и отрицательная степень.

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[6]{9}=9^{1\mathrm{/}6}$$

Тогда выражение примет вид:

$$(9^{1\mathrm{/}6}{)}^{-3}$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$$9^{(1\mathrm{/}6)\cdot (-3)}=9^{-3\mathrm{/}6}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь в показателе степени:

$$9^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 4: Представляем 9 как $3^2$:

$$(3^2{)}^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$$3^{2\cdot (-1\mathrm{/}2)}=3^{-1}$$

Шаг 6: Преобразуем отрицательную степень:

$$\frac{1}{3}$$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) $(\sqrt[10]{32}{)}^2$

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[10]{32}={32}^{1\mathrm{/}10}$$

Тогда выражение примет вид:

$$({32}^{1\mathrm{/}10}{)}^2$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$${32}^{(1\mathrm{/}10)\cdot 2}={32}^{2\mathrm{/}10}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь:

$${32}^{1\mathrm{/}5}$$

Шаг 4: Представляем 32 как $2^5$:

$$(2^5{)}^{1\mathrm{/}5}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$$2^{5\mathrm{/}5}=2^1=2$$

Ответ: 2

4) $(\sqrt[8]{16}{)}^{-4}$

Шаг 1: Записываем корень в показательной форме:

$$\sqrt[8]{16}={16}^{1\mathrm{/}8}$$

Тогда выражение примет вид:

$$({16}^{1\mathrm{/}8}{)}^{-4}$$

Шаг 2: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$${16}^{(1\mathrm{/}8)\cdot (-4)}={16}^{-4\mathrm{/}8}$$

Шаг 3: Сокращаем дробь:

$${16}^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 4: Представляем 16 как $4^2$:

$$(4^2{)}^{-1\mathrm{/}2}$$

Шаг 5: Используем свойство степеней $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$:

$$4^{2\cdot (-1\mathrm{/}2)}=4^{-1}$$

Шаг 6: Преобразуем отрицательную степень:

$$\frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$