ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 877 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:

1. у = х2 — 2х, х0 = 3;
2. у = х3 + 3х, х0 = 3;
3. у = sin х, х0 = пи/6;
4. y = cos х, х0 = пи/3.

1. $f(x) = x^2 — 2x$ и $x_0 = 3$;
   $f'(x) = (x^2)’ — (2x)’ = 2x — 2;$
   $f'(3) = 2 \cdot 3 — 2 = 6 — 2 = 4;$
   $f(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 = 9 — 6 = 3;$
   $y = 3 + 4(x — 3) = 3 + 4x — 12 = 4x — 9;$
   Ответ: $y = 4x — 9$.
2. $f(x) = x^3 + 3x$ и $x_0 = 3$;
   $f'(x) = (x^3)’ + (3x)’ = 3x^2 + 3;$
   $f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30;$
   $f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36;$
   $y = 36 + 30(x — 3) = 36 + 30x — 90 = 30x — 54;$
   Ответ: $y = 30x — 54$.
3. $f(x) = \sin x$ и $x_0 = \frac{\pi}{6}$;
   $f'(x) = (\sin x)’ = \cos x;$
   $f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$
   $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2};$
   $y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{12};$
   Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$.
4. $f(x) = \cos x$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$;
   $f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x;$
   $f’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2};$
   $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$
   $y = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \left(x — \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{6};$
   Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$.

1) $f(x) = x^2 — 2x$, $x_0 = 3$

Шаг 1: Найдём производную функции

Дана функция:

$$f(x) = x^2 — 2x$$

По правилу производной суммы (или разности):

$$f'(x) = (x^2)’ — (2x)’ = 2x — 2$$

Шаг 2: Вычисляем значение производной в точке $x = 3$

$$f'(3) = 2 \cdot 3 — 2 = 6 — 2 = 4$$

Шаг 3: Вычисляем значение функции в точке $x = 3$

$$f(3) = 3^2 — 2 \cdot 3 = 9 — 6 = 3$$

Шаг 4: Подставим в формулу касательной

Формула касательной к графику в точке $x_0$:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим значения:

$$y = 3 + 4(x — 3) = 3 + 4x — 12 = 4x — 9$$

Ответ:

$$\boxed{y = 4x — 9}$$

2) $f(x) = x^3 + 3x$, $x_0 = 3$

Шаг 1: Найдём производную

$$f'(x) = (x^3)’ + (3x)’ = 3x^2 + 3$$

Шаг 2: Вычислим значение производной в точке $x = 3$

$$f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30$$

Шаг 3: Найдём значение функции в точке $x = 3$

$$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36$$

Шаг 4: Формула касательной

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$ $$y = 36 + 30(x — 3) = 36 + 30x — 90 = 30x — 54$$

Ответ:

$$\boxed{y = 30x — 54}$$

3) $f(x) = \sin x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Шаг 1: Найдём производную

$$f'(x) = (\sin x)’ = \cos x$$

Шаг 2: Значение производной в точке

$$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Значение функции в точке

$$f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Формула касательной

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим:

$$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \left( x — \frac{\pi}{6} \right)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x — \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$$

Упорядочим:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$$

Ответ:

$$\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} — \frac{\pi \sqrt{3}}{12}}$$

4) $f(x) = \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную

$$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$$

Шаг 2: Вычислим значение производной

$$f’\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Значение функции

$$f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Формула касательной

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x — x_0)$$

Подставим:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \left( x — \frac{\pi}{3} \right)$$

Раскроем скобки:

$$y = \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$

Упорядочим:

$$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{\pi \sqrt{3}}{6}}$$