ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 341 Алимов — Подробные Ответы

1. log7 (x — 1) log7(x) =log7(x);
2. log1/3(x)log1/3(3x — 2) = log1/3(3x — 2);
3. log2 (3x + 1) log3(x) = 2log3(3x+1);
4. log корень 3(x — 2) log5(x)= 2log3(x — 2)

1) $\log_7 (x-1) \cdot \log_7 x = \log_7 x$

Первое уравнение:

$${\log }_{7}x=0;$$

$$\log_7 x = 0;$$ $$\log_7 x = \log_7 1, \text{ отсюда } x = 1;$$

Второе уравнение:

$${\log }_7(x-1)=1;$$

$$\log_7 (x-1) = 1;$$ $${\log }_7(x-1)={\log }_{7}7;$$

$$\log_7 (x-1) = \log_7 7;$$ $$x — 1 = 7, \text{ отсюда } x = 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-1>0,\text{ отсюда }x>1;$$

$$x — 1 > 0, \text{ отсюда } x > 1;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = 8$.

2) $\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \log_{\frac{1}{3}} (3x-2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x-2)$

Первое уравнение:

$${\log }_{\frac{1}{3}}(3x-2)=0;$$

$$\log_{\frac{1}{3}} (3x-2) = 0;$$ $${\log }_{\frac{1}{3}}(3x-2)={\log }_{\frac{1}{3}}1;$$

$$\log_{\frac{1}{3}} (3x-2) = \log_{\frac{1}{3}} 1;$$ $$3x-2=1;$$

$$3x — 2 = 1;$$ $$3x = 3, \text{ отсюда } x = 1;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{\frac{1}{3}}x=1;$$

$$\log_{\frac{1}{3}} x = 1;$$ $$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}, \text{ отсюда } x = \frac{1}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x-2>0,\text{ отсюда }x>\frac{2}{3};$$

$$3x — 2 > 0, \text{ отсюда } x > \frac{2}{3};$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = 1$.

3) $\log_2 (3x+1) \cdot \log_3 x = 2 \log_2 (3x+1)$

Первое уравнение:

$${\log }_2(3x+1)=0;$$

$$\log_2 (3x+1) = 0;$$ $${\log }_2(3x+1)={\log }_{2}1;$$

$$\log_2 (3x+1) = \log_2 1;$$ $$3x+1=1;$$

$$3x + 1 = 1;$$ $$3x = 0, \text{ отсюда } x = 0;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{3}x=2;$$

$$\log_3 x = 2;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^2;$$

$$\log_3 x = \log_3 3^2;$$ $$x = 3^2 = 9;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x+1>0,\text{ отсюда }x>-\frac{1}{3};$$

$$3x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -\frac{1}{3};$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = 9$.

4) $\log_{\sqrt{3}} (x-2) \cdot \log_5 x = 2 \log_3 (x-2)$

Первое уравнение:

$${\log }_3(x-2)=0;$$

$$\log_3 (x-2) = 0;$$ $${\log }_3(x-2)={\log }_{3}1;$$

$$\log_3 (x-2) = \log_3 1;$$ $$x — 2 = 1, \text{ отсюда } x = 3;$$

Второе уравнение:

$${\log }_{5}x=1;$$

$$\log_5 x = 1;$$ $$\log_5 x = \log_5 5, \text{ отсюда } x = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-2>0,\text{ отсюда }x>2;$$

$$x — 2 > 0, \text{ отсюда } x > 2;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x_1 = 3, \, x_2 = 5$.

Задача 1

Условие:

$$\log_7 (x — 1) \cdot \log_7 x = \log_7 x$$

Шаг 1: Переносим всё в одну часть

Перепишем уравнение:

$$\log_7 (x — 1) \cdot \log_7 x — \log_7 x = 0$$

Вынесем $\log_7 x$ за скобку:

$$\log_7 x \cdot (\log_7 (x — 1) — 1) = 0$$

Шаг 2: Произведение равно нулю

Уравнение имеет вид $A \cdot B = 0$, значит:

• $\log_7 x = 0$
• $\log_7 (x — 1) — 1 = 0$

1-й случай:

$$\log_7 x = 0 \Rightarrow x = 7^0 = 1$$

2-й случай:

$$\log_7 (x — 1) = 1 \Rightarrow x — 1 = 7^1 = 7 \Rightarrow x = 8$$

Шаг 3: Проверка ОДЗ

Подлогарифмические выражения должны быть > 0:

• $x > 0$
• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Итак, ОДЗ: $x > 1$

Проверяем корни:

• $x = 1$: не подходит, т.к. $x — 1 = 0 \Rightarrow \log_7 0$ — не существует
• $x = 8$: удовлетворяет ОДЗ

Ответ:

$$\boxed{x = 8}$$

Задача 2

Условие:

$$\log_{\frac{1}{3}} x \cdot \log_{\frac{1}{3}} (3x — 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x — 2)$$

Шаг 1: Переносим в одну часть

$$\log_{\frac{1}{3}} (3x — 2) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x — \log_{\frac{1}{3}} (3x — 2) = 0$$

Вынесем $\log_{\frac{1}{3}} (3x — 2)$:

$$\log_{\frac{1}{3}} (3x — 2) \cdot (\log_{\frac{1}{3}} x — 1) = 0$$

Шаг 2: Произведение равно нулю

1. $\log_{\frac{1}{3}} (3x — 2) = 0 \Rightarrow 3x — 2 = 1 \Rightarrow x = 1$
2. $\log_{\frac{1}{3}} x = 1 \Rightarrow x = \left( \frac{1}{3} \right)^1 = \frac{1}{3}$

Шаг 3: Проверка ОДЗ

• $x > 0$
• $3x — 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$

Общее ОДЗ: $x > \frac{2}{3}$

Проверка корней:

• $x = 1$: входит в ОДЗ
• $x = \frac{1}{3}$: не входит в ОДЗ

Ответ:

$$\boxed{x = 1}$$

Задача 3

Условие:

$$\log_2 (3x + 1) \cdot \log_3 x = 2 \log_2 (3x + 1)$$

Шаг 1: Переносим в одну часть

$$\log_2 (3x + 1) \cdot \log_3 x — 2 \log_2 (3x + 1) = 0$$

Вынесем $\log_2 (3x + 1)$:

$$\log_2 (3x + 1) \cdot (\log_3 x — 2) = 0$$

Шаг 2: Произведение равно нулю

1. $\log_2 (3x + 1) = 0 \Rightarrow 3x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$
2. $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$

Шаг 3: ОДЗ

• $x > 0$
• $3x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$

Общее ОДЗ: $x > 0$

Проверка корней:

• $x = 0$: не входит в ОДЗ
• $x = 9$: входит в ОДЗ

Ответ:

$$\boxed{x = 9}$$

Задача 4

Условие:

$$\log_{\sqrt{3}} (x — 2) \cdot \log_5 x = 2 \log_3 (x — 2)$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Заменим основание $\sqrt{3}$:

$$\log_{\sqrt{3}} (x — 2) = \frac{\log_3 (x — 2)}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{\log_3 (x — 2)}{\frac{1}{2}} = 2 \log_3 (x — 2)$$

Уравнение станет:

$$2 \log_3 (x — 2) \cdot \log_5 x = 2 \log_3 (x — 2)$$

Шаг 2: Делим обе части на $2 \log_3 (x — 2)$

Условие: $\log_3 (x — 2) \ne 0$

Если не равно нулю, сокращаем:

$$\log_5 x = 1 \Rightarrow x = 5$$

Если $\log_3 (x — 2) = 0 \Rightarrow x — 2 = 1 \Rightarrow x = 3$

Шаг 3: ОДЗ

• $x > 0$
• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Общее: $x > 2$

Проверка корней:

• $x = 3$: входит
• $x = 5$: входит

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 3,\quad x_2 = 5}$$