ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 942 Алимов — Подробные Ответы

Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник наибольшей площади.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, тогда:
$p = 2a + 2b$, отсюда $a = \frac{p}{2} — b$;
$S = a \cdot b = \left( \frac{p}{2} — b \right) \cdot b = \frac{p}{2} \cdot b — b^2$;

Производная функции:
$S'(b) = \left( \frac{p}{2} \cdot b \right)’ — (b^2)’ = \frac{p}{2} — 2b$;

Промежуток возрастания:
$\frac{p}{2} — 2b > 0$;
$2b < \frac{p}{2}$, отсюда $b < \frac{p}{4}$;

Искомые числа:
$b = \frac{p}{4}$ — точка максимума;
$a = \frac{p}{2} — \frac{p}{4} = \frac{p}{4}$;

Ответ: квадрат со стороной $\frac{p}{4}$.

Даны длины сторон прямоугольника $a$ и $b$, а также его периметр $p$. Требуется найти, при каких значениях $b$ площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ будет максимальной.

Шаг 1. Исходные данные

Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника $p$ связан с длинами его сторон $a$ и $b$ следующим образом:

$$p = 2a + 2b$$

Решим это уравнение относительно $a$:

$$a = \frac{p}{2} — b$$

Теперь мы можем выразить площадь прямоугольника $S$ через $b$:

$$S = a \cdot b = \left( \frac{p}{2} — b \right) \cdot b$$

Раскроем скобки:

$$S = \frac{p}{2} \cdot b — b^2$$

Таким образом, площадь прямоугольника $S$ выражается как квадратичная функция от $b$:

$$S(b) = \frac{p}{2} \cdot b — b^2$$

Шаг 2. Находим производную площади

Для того чтобы найти значения $b$, при которых площадь максимальна, нам необходимо найти критические точки функции $S(b)$. Для этого найдем производную $S'(b)$.

Возьмем производную от $S(b) = \frac{p}{2} \cdot b — b^2$:

1. Производная от $\frac{p}{2} \cdot b$ по $b$ равна $\frac{p}{2}$.
2. Производная от $-b^2$ по $b$ равна $-2b$.

Таким образом, производная площади по $b$ будет:

$$S'(b) = \frac{p}{2} — 2b$$

Шаг 3. Находим критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

$$S'(b) = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{p}{2} — 2b = 0$$

Решим это уравнение относительно $b$:

$$\frac{p}{2} = 2b \quad \Rightarrow \quad b = \frac{p}{4}$$

Таким образом, $b = \frac{p}{4}$ — это критическая точка, при которой площадь может быть максимальной.

Шаг 4. Проверка второго порядка

Чтобы убедиться, что $b = \frac{p}{4}$ действительно является точкой максимума, проверим вторую производную функции $S(b)$.

Вторая производная функции $S(b)$ будет:

$$S»(b) = -2$$

Так как $S»(b) = -2 < 0$, то это означает, что функция $S(b)$ имеет максимум в точке $b = \frac{p}{4}$.

Шаг 5. Находим значение $a$

Теперь, зная, что $b = \frac{p}{4}$, можем найти значение $a$, используя исходное выражение для $a$:

$$a = \frac{p}{2} — b = \frac{p}{2} — \frac{p}{4} = \frac{p}{4}$$

Шаг 6. Ответ

Таким образом, прямоугольник с максимальной площадью будет квадратом с длиной стороны $\frac{p}{4}$.

Ответ: квадрат со стороной $\frac{p}{4}$.