ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 923 Алимов — Подробные Ответы

Используя график функции у = f (х) (рис. 136), найти:

1. область определения и множество значений функции;
2. нули функции;
3. промежутки возрастания и убывания функции;
4. значения х, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;
5. экстремумы функции.

Исследуем функцию $y = f(x)$, используя график, изображенный на рисунке 136;

1. Область определений и множество значений функции:
   $D(x) = [-7; 7]$ и $E(y) = [-2; 2]$;
2. Нули функции:
   $x_1 = -6$; $x_2 = -4$; $x_3 = 0$; $x_4 = 4$; $x_5 = 6$;
3. Промежутки возрастания и убывания функции:
   Возрастает на $(-5; -2) \cup (2; 5)$;
   Убывает на $(-7; -5) \cup (-2; 2) \cup (5; 7)$;
4. Промежутки знакопостоянства функции:
   Функция положительна на $(-7; -6) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$;
   Функция отрицательна на $(-6; -4) \cup (0; 4) \cup (6; 7)$;
5. Экстремумы функции:
   $x = -5$ и $x = 2$ — точки минимума;
   $x = -2$ и $x = 5$ — точки максимума

1. Область определения и множество значений функции:

• Область определения функции $D(x)$:
  Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых функция $f(x)$ имеет смысл. Это соответствует горизонтальному отрезку на графике, по которому можно провести вертикальные линии, не выходящие за пределы графика.

  Согласно условиям задачи, область определения функции:

  $$D(x) = [-7; 7]$$

  Это означает, что функция определена для всех значений $x$ на интервале от -7 до 7, включительно.

• Множество значений функции $E(y)$:
  Множество значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y = f(x)$, то есть вертикальный диапазон значений на графике.

  Согласно условию:

  $$E(y) = [-2; 2]$$

  Это означает, что функция $f(x)$ может принимать значения в пределах от -2 до 2, включая границы.

2. Нули функции:

• Нули функции — это те значения $x$, для которых $f(x) = 0$. На графике это те точки, где график пересекает ось абсцисс (ось $x$).

  Согласно графику, нули функции:

  $$x_1 = -6, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = 0, \quad x_4 = 4, \quad x_5 = 6$$

  То есть, $f(x) = 0$ в точках $x = -6, -4, 0, 4, 6$.

3. Промежутки возрастания и убывания функции:

• Промежутки возрастания:
  Функция возрастает на тех интервалах, где график функции идет вверх, то есть при увеличении $x$ значения $y$ также увеличиваются.

  Согласно графику:

  $$\text{Функция возрастает на интервалах:} \ (-5; -2) \cup (2; 5)$$

• Промежутки убывания:
  Функция убывает на тех интервалах, где график функции идет вниз, то есть при увеличении $x$ значения $y$ уменьшаются.

  Согласно графику:

  $$\text{Функция убывает на интервалах:} \ (-7; -5) \cup (-2; 2) \cup (5; 7)$$

4. Промежутки знакопостоянства функции:

• Знак функции:
  Знак функции определяет, положительна ли функция (значения $y > 0$) или отрицательна (значения $y < 0$) на соответствующих интервалах.
  • Функция положительна на интервалах, где график находится выше оси $x$ (значения $y > 0$):

    $$\text{Функция положительна на интервалах:} \ (-7; -6) \cup (-4; 0) \cup (4; 6)$$

  • Функция отрицательна на интервалах, где график находится ниже оси $x$ (значения $y < 0$):

    $$\text{Функция отрицательна на интервалах:} \ (-6; -4) \cup (0; 4) \cup (6; 7)$$

5. Экстремумы функции:

• Экстремумы функции:
  Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает локальных минимумов или максимумов. В точках минимумов функция имеет наименьшее значение, а в точках максимумов — наибольшее значение относительно окрестных точек.
  • Минимумы:
    В точках минимума функция достигает своего локального минимального значения, то есть график функции имеет низшую точку на этих участках.
    Согласно графику:

    $$\text{Точки минимума:} \ x = -5, \quad x = 2$$

  • Максимумы:
    В точках максимума функция достигает своего локального максимума, то есть график функции имеет наивысшую точку на этих участках.
    Согласно графику:

    $$\text{Точки максимума:} \ x = -2, \quad x = 5$$