ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 894 Алимов — Подробные Ответы

Найти все такие точки графика функции у =(4x-2^)x+1))/ln4, в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = 2х + 5.

$f(x) = \frac{4^x — 2^{x+1}}{\ln 4};$

Угловой коэффициент касательной:

$f'(x) = \frac{1}{\ln 4} \cdot \left( (4^x)’ — (2^{x+1})’ \right) = \frac{4^x \cdot \ln 4 — 2^{x+1} \cdot \ln 2}{\ln 4};$
$f'(x) = \frac{4^x \cdot \ln 4 — 2^{x+1} \cdot \frac{1}{2} \ln 4}{\ln 4} = 4^x — \frac{2^x \cdot 2^1}{2} = 2^{2x} — 2^x;$

Точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 2x + 5$:

$2^{2x} — 2^x = 2;$
$2^{2x} — 2^x — 2 = 0;$

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$y^2 — y — 2 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$

Первое уравнение:

$2^x = -1 \quad \text{— корней нет; }$

Второе уравнение:

$2^x = 2;$
$2^x = 2^1, \text{отсюда } x = 1;$
$f(1) = \frac{4^1 — 2^{1+1}}{\ln 4} = \frac{4 — 2^2}{\ln 4} = \frac{0}{\ln 4} = 0;$

Ответ: $(1; 0)$.

Нужно найти точку, в которой касательная к графику функции $f(x) = \frac{4^x — 2^{x+1}}{\ln 4}$ параллельна прямой $y = 2x + 5$.

Шаг 1: Найдем производную функции

Чтобы найти уравнение касательной и угловой коэффициент касательной, нужно найти производную функции $f(x) = \frac{4^x — 2^{x+1}}{\ln 4}$.

1.1: Используем правила дифференцирования

Рассмотрим функцию $f(x)$. Для удобства запишем её как:

$$f(x) = \frac{1}{\ln 4} \cdot (4^x — 2^{x+1})$$

Теперь найдем производную от $f(x)$, используя линейность производных. Для этого нам нужно найти производные от $4^x$ и $2^{x+1}$.

• Производная от $4^x$:

$$(4^x)’ = 4^x \cdot \ln 4$$

• Производная от $2^{x+1}$:

$$(2^{x+1})’ = 2^{x+1} \cdot \ln 2$$

Теперь подставим это в формулу для $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln 4} \cdot \left( 4^x \cdot \ln 4 — 2^{x+1} \cdot \ln 2 \right)$$

1.2: Упростим выражение

Выносим $\ln 4$ и $\ln 2$ из выражений:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln 4} \cdot \left( 4^x \cdot \ln 4 — 2^{x+1} \cdot \ln 2 \right)$$

Теперь заметим, что $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, и подставим это:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln 4} \cdot \left( 4^x \cdot \ln 4 — 2 \cdot 2^x \cdot \ln 2 \right)$$

Используя $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, упростим:

$$f'(x) = 2^{2x} — 2^x$$

Итак, производная функции:

$$f'(x) = 2^{2x} — 2^x$$

Шаг 2: Находим точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 2x + 5$

Прямая $y = 2x + 5$ имеет угловой коэффициент 2, значит, нам нужно найти такие точки, где производная функции $f'(x)$ равна 2.

Условие:

$$f'(x) = 2$$

Подставляем в уравнение:

$$2^{2x} — 2^x = 2$$

Приводим уравнение к более удобному виду:

$$2^{2x} — 2^x — 2 = 0$$

Теперь, чтобы решить это уравнение, сделаем замену. Пусть $y = 2^x$, тогда $y^2 = 2^{2x}$. Подставляем это в уравнение:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.

2.1: Вычисляем дискриминант

Для уравнения $y^2 — y — 2 = 0$ находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

2.2: Решаем уравнение для $2^x$

Теперь рассмотрим два возможных значения для $y = 2^x$:

1. $2^x = -1$: Это уравнение не имеет решений, так как $2^x$ всегда положительно для всех $x$.
2. $2^x = 2$: Это уравнение имеет решение $x = 1$, так как $2^x = 2^1$.

Итак, $x = 1$ — это точка, в которой касательная будет параллельна прямой $y = 2x + 5$.

Шаг 3: Находим значение функции в точке $x = 1$

Теперь, когда мы нашли точку касания $x_0 = 1$, найдем значение функции $f(x)$ в этой точке:

$$f(1) = \frac{4^1 — 2^{1+1}}{\ln 4} = \frac{4 — 4}{\ln 4} = \frac{0}{\ln 4} = 0$$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, 0)$.

Ответ:

Точка касания: $(1, 0)$.