ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 834 Алимов — Подробные Ответы

1. 0,5x + e3x;
2. 3x — e2x;
3. e^(2-x) + корень 3 степени x;
4. e^(3-x) + 1/x4.

1. $f(x) = 0,5^x + e^{3x}$;
   $f'(x) = (0,5^x)’ + (e^{3x})’ = 0,5^x \cdot \ln 0,5 + 3e^{3x}$;
2. $f(x) = 3^x — e^{2x}$;
   $f'(x) = (3^x)’ — (e^{2x})’ = 3^x \cdot \ln 3 — 2e^{2x}$;
3. $f(x) = e^{2-x} + \sqrt[3]{x}$;
   $f'(x) = (e^{2-x})’ + \left( x^{\frac{1}{3}} \right)’ = -e^{2-x} + \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = -e^{2-x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$;
4. $f(x) = e^{3-x} + \frac{1}{x^4}$;
   $f'(x) = (e^{3-x})’ + (x^{-4})’ = -e^{3-x} — 4x^{-5} = -e^{3-x} — \frac{4}{x^5}$

1) $f(x) = 0,5^x + e^{3x}$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальные функции с основанием 0.5 и основанием $e$.

Производная от $0,5^x$:

Для функции вида $a^x$, где $a$ — это константа, производная вычисляется по формуле:

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a$$

Таким образом, для $0,5^x$ (где $a = 0,5$):

$$\frac{d}{dx} 0,5^x = 0,5^x \ln 0,5$$

Заметим, что $\ln 0,5 = -\ln 2$, так как $0,5 = 2^{-1}$. Таким образом:

$$\frac{d}{dx} 0,5^x = 0,5^x \cdot (-\ln 2)$$

или

$$\frac{d}{dx} 0,5^x = -0,5^x \ln 2$$

Производная от $e^{3x}$:

Для экспоненциальной функции с основанием $e$, производная от $e^{3x}$ вычисляется с применением правила цепочки:

$$\frac{d}{dx} e^{3x} = e^{3x} \cdot \frac{d}{dx}(3x)$$

Производная от $3x$ равна 3, поэтому:

$$\frac{d}{dx} e^{3x} = 3e^{3x}$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = -0,5^x \ln 2 + 3e^{3x}$$

2) $f(x) = 3^x — e^{2x}$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальные функции с основанием 3 и $e$.

Производная от $3^x$:

Для функции $3^x$, производная по аналогии с предыдущим примером будет вычисляться как:

$$\frac{d}{dx} 3^x = 3^x \ln 3$$

Производная от $e^{2x}$:

Для экспоненциальной функции $e^{2x}$, применим правило цепочки:

$$\frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x)$$

Производная от $2x$ равна 2, поэтому:

$$\frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = 3^x \ln 3 — 2e^{2x}$$

3) $f(x) = e^{2-x} + \sqrt[3]{x}$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальную функцию $e^{2-x}$ и корень кубический от $x$.

Производная от $e^{2-x}$:

Применяем правило цепочки для экспоненциальной функции с аргументом $2 — x$:

$$\frac{d}{dx} e^{2-x} = e^{2-x} \cdot \frac{d}{dx}(2 — x)$$

Производная от $2 — x$ равна -1, поэтому:

$$\frac{d}{dx} e^{2-x} = -e^{2-x}$$

Производная от $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$:

Для функции $x^{\frac{1}{3}}$, применяем правило дифференцирования для степенной функции:

$$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$$

или

$$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$$

или

$$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = -e^{2-x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

4) $f(x) = e^{3-x} + \frac{1}{x^4}$

Задача состоит в нахождении производной функции, которая включает экспоненциальную функцию $e^{3-x}$ и степенную функцию $x^{-4}$.

Производная от $e^{3-x}$:

Применяем правило цепочки для экспоненциальной функции с аргументом $3 — x$:

$$\frac{d}{dx} e^{3-x} = e^{3-x} \cdot \frac{d}{dx}(3 — x)$$

Производная от $3 — x$ равна -1, поэтому:

$$\frac{d}{dx} e^{3-x} = -e^{3-x}$$

Производная от $\frac{1}{x^4} = x^{-4}$:

Для функции $x^{-4}$ применяем правило дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx} x^{-4} = -4x^{-5}$$

или

$$\frac{d}{dx} x^{-4} = -\frac{4}{x^5}$$

Теперь собираем все вместе:

$$f'(x) = -e^{3-x} — \frac{4}{x^5}$$

Итоговое решение:

1. $f'(x) = -0,5^x \ln 2 + 3e^{3x}$
2. $f'(x) = 3^x \ln 3 — 2e^{2x}$
3. $f'(x) = -e^{2-x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
4. $f'(x) = -e^{3-x} — \frac{4}{x^5}$