ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 801 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значения функции y = корень (3х — 7) равны значениям функции, являющейся её производной.

$$y = \sqrt{3x — 7} = (3x — 7)^{\frac{1}{2}};$$

Производная функции:

$$y’ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x — 7)^{\frac{1}{2} — 1} = \frac{3}{2} \cdot (3x — 7)^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{3x — 7}};$$

Равенство выполняется при:

$$\sqrt{3x — 7} = \frac{3}{2\sqrt{3x — 7}};$$ $$3x — 7 = \frac{3}{2};$$ $$3x = \frac{3}{2} + 7 = \frac{3}{2} + \frac{14}{2} = \frac{17}{2};$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{17}{2} = \frac{17}{6} = 2 \frac{5}{6};$$

Ответ: $2 \frac{5}{6}$.

Функция:

$$y = \sqrt{3x — 7} = (3x — 7)^{\frac{1}{2}}.$$

Нам нужно найти производную этой функции и решить уравнение для $x$, при котором функция $y$ равна своей производной $y’$.

Шаг 1: Нахождение производной функции $y$

Для начала определим производную функции $y$, используя правило дифференцирования для степенной функции.

Функция представлена как:

$$y = (3x — 7)^{\frac{1}{2}}.$$

Чтобы найти производную, применим правило дифференцирования для функции вида $f(x) = (g(x))^n$, где $g(x)$ — это функция, а $n$ — показатель степени. Тогда производная будет вычисляться по формуле:

$$f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x),$$

где $g'(x)$ — производная функции $g(x)$.

В нашем случае:

• $g(x) = 3x — 7$,
• $n = \frac{1}{2}$.

Для начала найдем производную функции $g(x) = 3x — 7$:

$$g'(x) = 3.$$

Теперь можем применить правило дифференцирования:

$$y’ = \frac{1}{2} \cdot (3x — 7)^{\frac{1}{2} — 1} \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x — 7)^{-\frac{1}{2}}.$$

Упростим это выражение:

$$y’ = \frac{3}{2} \cdot (3x — 7)^{-\frac{1}{2}}.$$

Или, что то же самое:

$$y’ = \frac{3}{2\sqrt{3x — 7}}.$$

Теперь мы знаем, как выглядит производная функции.

Шаг 2: Равенство функции и ее производной

Нам нужно найти значение $x$, при котором функция $y$ равна своей производной $y’$. Для этого приравняем их:

$$\sqrt{3x — 7} = \frac{3}{2\sqrt{3x — 7}}.$$

Шаг 3: Решение уравнения

Для того чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дроби. Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{3x — 7}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$2\sqrt{3x — 7} \cdot \sqrt{3x — 7} = 3.$$

Так как $\sqrt{3x — 7} \cdot \sqrt{3x — 7} = 3x — 7$, уравнение примет вид:

$$2(3x — 7) = 3.$$

Теперь упростим это выражение:

$$6x — 14 = 3.$$

Добавим 14 к обеим частям уравнения:

$$6x = 3 + 14,$$ $$6x = 17.$$

Теперь разделим обе части уравнения на 6:

$$x = \frac{17}{6}.$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, решение уравнения $y = y’$ для $x$ равно:

$$x = \frac{17}{6} = 2 \frac{5}{6}.$$

Ответ: $x = 2 \frac{5}{6}$.