ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 742 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения,принадлежащие промежутку (-пи/2; пи):

1. tg2x= корень 3;
2. tg3x= -1.

Требуется найти корни уравнения на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$;

$\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$;

$$2x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$$

Значения на искомом промежутке:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3};$$

$\operatorname{tg} 3x = -1$;

$$3x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3};$$

Значения на искомом промежутке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{12};$$ $$x_3 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{12};$$ $$x_5=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}$$

Требуется найти корни уравнений на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

1) Решение уравнения

$$\operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$$

Шаг 1: Понимание уравнения

Нам нужно найти все значения $x$ из заданного промежутка, при которых значение тангенса двойного угла $2x$ равно $\sqrt{3}$.

Шаг 2: Обратная функция тангенса

Поскольку $\operatorname{tg} \theta = y$, то $\theta = \operatorname{arctg} y + \pi n$, где $n$ — любое целое число (так как тангенс периодичен с периодом $\pi$).

В нашем случае:

$$2x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n$$

Шаг 3: Значение $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$

Знаем, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, следовательно:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Общее решение для $x$

Подставляем:

$$2x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 5: Выделение корней на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Теперь подставим разные значения $n$ и проверим, попадают ли полученные $x$ в данный промежуток.

• Для $n = -1$:

$$x = \frac{\pi}{6} — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047$$

Проверяем:

$$-\frac{\pi}{2} \approx -1.570 < -1.047 < 3.141 = \pi,$$

следовательно, $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ — корень.

• Для $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{6} = 0.5236$$

Попадает в промежуток, значит $x_2 = \frac{\pi}{6}$ — корень.

• Для $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$

Также в промежутке, значит $x_3 = \frac{2\pi}{3}$ — корень.

• Для $n = 2$:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665,$$

что выходит за пределы $\pi$, поэтому не учитываем.

Итог для уравнения 1):

$$\boxed{ x_1 = -\frac{\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{\pi}{6}, \quad x_3 = \frac{2\pi}{3} }$$

2) Решение уравнения

$$\operatorname{tg} 3x = -1$$

Шаг 1: Анализ уравнения

Нужно найти все $x$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$, при которых $\operatorname{tg} 3x = -1$.

Шаг 2: Общее решение для аргумента $3x$

Решаем сначала уравнение для $3x$:

$$3x = \operatorname{arctg} (-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Значение $\operatorname{arctg} (-1)$

Знаем, что $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, значит:

$$\operatorname{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Общее решение для $x$

Подставляем:

$$3x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Делим обе части на 3:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 5: Поиск решений на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \pi\right)$

Подставим целые значения $n$, чтобы найти $x$ в заданном промежутке:

• $n = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} — \frac{4\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} \approx -1.308$$

Проверяем:

$$-\frac{\pi}{2} \approx -1.570 < -1.308 < 3.141$$

Корень $x_1 = -\frac{5\pi}{12}$.

• $n = 0$:

$$x = -\frac{\pi}{12} \approx -0.262$$

Корень $x_2 = -\frac{\pi}{12}$.

• $n = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$$

Корень $x_3 = \frac{\pi}{4}$.

• $n = 2$:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} \approx 1.832$$

Корень $x_4 = \frac{7\pi}{12}$.

• $n = 3$:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \pi = -\frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{11\pi}{12} \approx 2.879$$

Корень $x_5 = \frac{11\pi}{12}$.

• $n = 4$:

$$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} \approx 3.927,$$

что больше $\pi$, значит не учитываем.

Итог для уравнения 2):

$$\boxed{ x_1 = -\frac{5\pi}{12}, \quad x_2 = -\frac{\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{\pi}{4}, \quad x_4 = \frac{7\pi}{12}, \quad x_5 = \frac{11\pi}{12} }$$