ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 716 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-пи/2; 3 пи/2]:

1. cos2x < 1/2;
2. cos3x > корень 3/2.

Требуется найти решения неравенства на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

$\cos 2x < \frac{1}{2}$;

$$\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < 2x < 2\pi — \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < 2\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x_1 < -\frac{\pi}{6};$$ $$\frac{\pi}{6} < x_2 < \frac{5\pi}{6};$$ $$\frac{7\pi}{6} < x_3 \leq \frac{3\pi}{2};$$

$\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < 3x < \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{\pi}{18} < x_1 < \frac{\pi}{18};$$ $$\frac{11\pi}{18} < x_2 < \frac{13\pi}{18};$$ $$\frac{23\pi }{18}<x_3<\frac{25\pi }{18}$$

Найти решения неравенств на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$:

1) Решить неравенство

$$\cos 2x < \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Понимание функции и область определения

Функция $\cos t$ принимает значения от $-1$ до $1$ и периодична с периодом $2\pi$.

Нас интересует область, где

$$\cos 2x < \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Определение промежутков, где $\cos t < \frac{1}{2}$

Пусть $t = 2x$. Тогда

$$\cos t < \frac{1}{2}$$

Значение $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

График косинуса на интервале $[0, 2\pi]$:

• Косинус равен $1/2$ в точках $t = \frac{\pi}{3}$ и $t = 2\pi — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
• Косинус убывает от 1 в $t=0$ до $-1$ в $t=\pi$, затем возрастает обратно до 1 в $t=2\pi$.

Следовательно, на промежутке

$$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$$

функция $\cos t < \frac{1}{2}$.

Шаг 3. Общее решение для $t$

Период косинуса равен $2\pi$, значит решение неравенства для всех $n \in \mathbb{Z}$:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4. Возврат к переменной $x$:

Поскольку $t = 2x$, делим неравенства на 2:

$$\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 5. Найдем $x$, которые удовлетворяют неравенству и лежат на отрезке

$$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}$$

Рассмотрим различные значения $n$ и проверим, входят ли соответствующие промежутки в отрезок.

При $n = -1$:

Промежуток:

$$\frac{\pi}{6} — \pi < x < \frac{5\pi}{6} — \pi$$

Подставим численные значения:

$$\frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$$ $$\frac{5\pi}{6} — \pi = \frac{5\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \approx -0.5236$$

Пересечение с отрезком:

$$[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}] = [-1.5708; 4.7124]$$

Промежуток при $n = -1$:

$$(-2.618, -0.5236)$$

Пересечение:

$$[-1.5708; 4.7124] \cap (-2.618, -0.5236) = [-1.5708, -0.5236)$$

Итого:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{6}$$

При $n = 0$:

Промежуток:

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$$

Значения численно:

$$0.5236 < x < 2.618$$

Полностью входит в отрезок $[-1.5708; 4.7124]$.

При $n = 1$:

Промежуток:

$$\frac{\pi}{6} + \pi < x < \frac{5\pi}{6} + \pi$$

Численно:

$$0.5236 + 3.1416 = 3.6652 < x < 2.618 + 3.1416 = 5.7596$$

Отрезок $[-1.5708; 4.7124]$ пересекается с промежутком

$$(3.6652, 5.7596)$$

Пересечение:

$$(3.6652, 4.7124]$$

В терминах $\pi$:

$$\frac{7\pi}{6} < x \leq \frac{3\pi}{2}$$

При $n = 2$:

Промежуток:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi$$

Численно:

$$0.5236 + 6.2832 = 6.8068 < x < 2.618 + 6.2832 = 8.9012$$

Это выходит за пределы отрезка, поэтому не подходит.

Итог решения для неравенства $\cos 2x < \frac{1}{2}$:

$$-\frac{\pi}{2} \leq x < -\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}$$ $$\frac{7\pi}{6} < x \leq \frac{3\pi}{2}$$

2) Решить неравенство

$$\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1. Найдем, где $\cos t > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Пусть $t = 3x$.

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$$

Косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке вокруг 0:

$$-\frac{\pi}{6} < t < \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2. Общее решение с периодом

Добавляя период $2\pi n$, получаем:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 3. Перейдем к переменной $x$:

Делим все на 3:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$$

Шаг 4. Найдем $x$, попадающие на отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$

Проверим значения для разных $n$:

При $n=0$:

$$-\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18}$$

Численно:

$$-0.1745 < x < 0.1745$$

Входит в отрезок.

При $n=1$:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}$$

Численно:

$$-0.1745 + 2.0944 = 1.9199 < x < 0.1745 + 2.0944 = 2.2689$$

В отрезке $[-1.5708; 4.7124]$.

При $n=2$:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{4\pi}{3}$$

Численно:

$$-0.1745 + 4.1888 = 4.0143 < x < 0.1745 + 4.1888 = 4.3633$$

В отрезке.

При $n=3$:

$$-\frac{\pi}{18} + 2\pi < x < \frac{\pi}{18} + 2\pi$$

Численно:

$$-0.1745 + 6.2832 = 6.1087 < x < 0.1745 + 6.2832 = 6.4577$$

Выходит за пределы отрезка.

Итог решения для неравенства $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$-\frac{\pi}{18} < x < \frac{\pi}{18}$$ $$\frac{11\pi}{18} < x < \frac{13\pi}{18}$$ $$\frac{23\pi}{18} < x < \frac{25\pi}{18}$$