ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 711 Алимов — Подробные Ответы

Используя свойство возрастания или убывания функции у = cos х, сравнить числа:

1. cos пи/7 и cos 8пи/9;
2. cos 8пи/7 и cos 10пи/7;
3. cos (-6пи/7) и cos (-пи/8);
4. cos (-8пи/7) и cos (-9пи/7);
5. cos1 и cos3;
6. cos4 и cos5.

Функция $y=\cos x$:

• Возрастает на отрезке $[\pi ;2\pi ]$;
• Убывает на отрезке $[0;\pi ]$;

$\mathrm{1.\; cos}\frac{\pi }{7}$ и $\cos \frac{8\pi }{9}$;
Числа $\frac{\pi }{7}$ и $\frac{8\pi }{9}$ принадлежат отрезку $[0;\pi ]$ — функция убывает;
$\frac{\pi }{7}<\frac{8\pi }{9}$, следовательно $\cos \frac{\pi }{7}>\cos \frac{8\pi }{9}$;

$\mathrm{2.\; cos}\frac{8\pi }{7}$ и $\cos \frac{10\pi }{7}$;
Числа $\frac{8\pi }{7}$ и $\frac{10\pi }{7}$ принадлежат отрезку $[\pi ;2\pi ]$ — функция возрастает;
$\frac{8\pi }{7}<\frac{10\pi }{7}$, следовательно $\cos \frac{8\pi }{7}<\cos \frac{10\pi }{7}$;

$\mathrm{3.\; cos}(-\frac{6\pi }{7})$ и $\cos (-\frac{\pi }{8})$;
Числа $-\frac{6\pi }{7}$ и $-\frac{\pi }{8}$ принадлежат отрезку $[-\pi ;0]$ — функция возрастает;
$-\frac{6\pi }{7}<-\frac{\pi }{8}$, следовательно $\cos (-\frac{6\pi }{7})<\cos (-\frac{\pi }{8})$;

$\mathrm{4.\; cos}(-\frac{8\pi }{7})$ и $\cos (-\frac{9\pi }{7})$;
Числа $-\frac{8\pi }{7}$ и $-\frac{9\pi }{7}$ принадлежат отрезку $[-2\pi ;-\pi ]$ — функция убывает;
$-\frac{8\pi }{7}>-\frac{9\pi }{7}$, следовательно $\cos (-\frac{8\pi }{7})<\cos (-\frac{9\pi }{7})$;

$\mathrm{5.\; cos}1$ и $\cos 3$;
Числа 1 и 3 принадлежат отрезку $[0;\pi ]$ — функция убывает;
$1<3$, следовательно $\cos 1>\cos 3$;

$\mathrm{6.\; cos}4$ и $\cos 5$;
Числа 4 и 5 принадлежат отрезку $[\pi ;2\pi ]$ — функция возрастает;
$4<5$, следовательно $\cos 4<\cos 5$

Функция $y=\cos x$:

• На интервале $[0;\pi ]$ функция убывает.
• На интервале $[\pi ;2\pi ]$ функция возрастает.

Это ключевой факт, который мы будем использовать. Он основан на поведении косинуса на основном периоде $2\pi$:

• Косинус начинается с 1 при $x=0$,
• Падает до -1 при $x=\pi$ (минимум),
• Потом растёт от $-1$ при $x=\pi$ до 1 при $x=2\pi$.

1) Сравнить $\cos \frac{\pi }{7}$ и $\cos \frac{8\pi }{9}$

Шаг 1. Определяем, где находятся углы $\frac{\pi }{7}$ и $\frac{8\pi }{9}$:

• $\frac{\pi }{7}$ — это около $0.448$ (т.к. $\pi \approx 3.1416$, $3.1416\mathrm{/}7\approx 0.448$).
• $\frac{8\pi }{9}$ — около $2.792$ (т.к. $3.1416\times 8\mathrm{/}9\approx 2.792$).

Оба числа лежат в интервале $[0;\pi ]$ (так как $\pi \approx 3.1416$).

Шаг 2. Свойство функции на интервале $[0;\pi ]$:

На этом интервале функция $y=\cos x$ убывает. Это значит:
Если $a<b$, где $a,b\in [0;\pi ]$, тогда $\cos a>\cos b$.

Шаг 3. Сравниваем аргументы:

$$\frac{\pi }{7}\approx 0.448<2.792\approx \frac{8\pi }{9}$$

Шаг 4. Следствие для косинусов:

Поскольку функция убывает на этом интервале и $\frac{\pi }{7}<\frac{8\pi }{9}$, то:

$$\cos \frac{\pi }{7}>\cos \frac{8\pi }{9}$$

2) Сравнить $\cos \frac{8\pi }{7}$ и $\cos \frac{10\pi }{7}$

Шаг 1. Определяем, где находятся углы:

• $\frac{8\pi }{7}\approx 3.590$
• $\frac{10\pi }{7}\approx 4.487$

Так как $\pi \approx 3.1416$ и $2\pi \approx 6.2832$, оба числа принадлежат интервалу $[\pi ;2\pi ]$.

Шаг 2. Свойство функции на интервале $[\pi ;2\pi ]$:

На этом интервале функция $y=\cos x$ возрастает. Значит:

Если $a<b$, где $a,b\in [\pi ;2\pi ]$, то $\cos a<\cos b$.

Шаг 3. Сравнение аргументов:

$$\frac{8\pi }{7}<\frac{10\pi }{7}$$

Шаг 4. Следствие:

$$\cos \frac{8\pi }{7}<\cos \frac{10\pi }{7}$$

3) Сравнить $\cos (-\frac{6\pi }{7})$ и $\cos (-\frac{\pi }{8})$

Шаг 1. Определяем, где находятся углы:

• $-\frac{6\pi }{7}\approx -2.69$
• $-\frac{\pi }{8}\approx -0.393$

Интервал, где лежат оба числа: $[-\pi ;0]$ (так как $-\pi \approx -3.1416$).

Шаг 2. Свойство функции на интервале $[-\pi ;0]$:

Чтобы понять поведение, вспомним, что косинус — чётная функция:

$$\cos (-x)=\cos x$$

Однако чтобы использовать данный интервал, рассматриваем свойства возрастающей/убывающей функции на $[-\pi ;0]$.

На интервале $[0;\pi ]$ косинус убывает, значит на $[-\pi ;0]$, по симметрии, косинус возрастает. (Можно также рассмотреть производную $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$, и на интервале $[-\pi ;0]$ $-\sin x\ge 0$, значит функция возрастает.)

Шаг 3. Сравнение аргументов:

$$-\frac{6\pi }{7}\approx -2.69<-0.393\approx -\frac{\pi }{8}$$

Шаг 4. Следствие:

Поскольку функция возрастает на $[-\pi ;0]$ и $-\frac{6\pi }{7}<-\frac{\pi }{8}$, то:

$$\cos (-\frac{6\pi }{7})<\cos (-\frac{\pi }{8})$$

4) Сравнить $\cos (-\frac{8\pi }{7})$ и $\cos (-\frac{9\pi }{7})$

Шаг 1. Определяем, где находятся углы:

• $-\frac{8\pi }{7}\approx -3.59$
• $-\frac{9\pi }{7}\approx -4.04$

Оба лежат в интервале $[-2\pi ;-\pi ]$ поскольку $-2\pi \approx -6.283$, $-\pi \approx -3.1416$.

Шаг 2. Свойство функции на интервале $[-2\pi ;-\pi ]$:

Функция убывает на этом интервале. Это следует из периодичности и симметрии косинуса:

$$y=\cos x\text{ убывает на }[\pi ;2\pi ]\Rightarrow \text{на }[-2\pi ;-\pi ]\text{ тоже убывает, т.к. }\cos x\text{ периодична}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Сравнение аргументов:

$$-\frac{8\pi }{7}\approx -3.59>-4.04\approx -\frac{9\pi }{7}$$

Шаг 4. Следствие:

Поскольку функция убывает на интервале и $-\frac{8\pi }{7}>-\frac{9\pi }{7}$, то:

$$\cos (-\frac{8\pi }{7})<\cos (-\frac{9\pi }{7})$$

5) Сравнить $\cos 1$ и $\cos 3$

Шаг 1. Определяем интервал:

Числа $1$ и $3$ лежат в интервале $[0;\pi ]$ (поскольку $\pi \approx 3.1416$).

Шаг 2. Свойство функции:

Функция $y=\cos x$ убывает на $[0;\pi ]$.

Шаг 3. Сравнение аргументов:

$$1<3$$

Шаг 4. Следствие:

Так как функция убывает, то:

$$\cos 1>\cos 3$$

6) Сравнить $\cos 4$ и $\cos 5$

Шаг 1. Определяем интервал:

Числа $4$ и $5$ лежат в интервале $[\pi ;2\pi ]$ (т.к. $\pi \approx 3.1416$, $2\pi \approx 6.2832$).

Шаг 2. Свойство функции:

На интервале $[\pi ;2\pi ]$ функция возрастает.

Шаг 3. Сравнение аргументов:

$$4<5$$

Шаг 4. Следствие:

Поскольку функция возрастает, то:

$$\cos 4<\cos 5$$