ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 690 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. 2 cos2 х + sin х — 1 < 0;
2. 2 sin2 x — 5 cos x + 1 > 0.

Задача 1:

$$2 \cos^2 x + \sin x — 1 < 0;$$

$$2 (1 — \sin^2 x) + \sin x — 1 < 0;$$

$$2 — 2 \sin^2 x + \sin x — 1 < 0;$$

$$2 \sin^2 x — \sin x — 1 > 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2 y^2 — y — 1 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$ $$\left(y + \frac{1}{2}\right)(y — 1) > 0;$$ $$y < -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad y > 1;$$

Первое неравенство:

$$\sin x < -\frac{1}{2};$$ $$-\pi — \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < x < \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$-\pi + \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < x < -\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Второе неравенство:

$$\sin x > 1 \quad \text{— корней нет};$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Задача 2:

$$2 \sin^2 x — 5 \cos x + 1 > 0;$$

$$2 (1 — \cos^2 x) — 5 \cos x + 1 > 0;$$

$$2 — 2 \cos^2 x — 5 \cos x + 1 > 0;$$

$$2 \cos^2 x + 5 \cos x — 3 < 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2 y^2 + 5 y — 3 < 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$(y + 3) \left(y — \frac{1}{2}\right) < 0;$$ $$-3 < y < \frac{1}{2};$$

Первое неравенство:

$$\cos x > -3 \quad \text{— при любом } x;$$

Второе неравенство:

$$\cos x < \frac{1}{2};$$ $$\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Задача 1.

Дано неравенство:

$$2 \cos^2 x + \sin x — 1 < 0.$$

Шаг 1. Перепишем через $\sin x$

Известно, что

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x.$$

Подставим в неравенство:

$$2 (1 — \sin^2 x) + \sin x — 1 < 0.$$

Шаг 2. Раскроем скобки и упростим

$$2 — 2 \sin^2 x + \sin x — 1 < 0,$$

то есть

$$2 \sin^2 x — \sin x — 1 > 0,$$

переносим все в левую часть и меняем знак.

Шаг 3. Вводим замену

Пусть

$$y = \sin x.$$

Тогда

$$2 y^2 — y — 1 > 0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное неравенство

Вычислим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9.$$

Шаг 5. Находим корни квадратного уравнения

$$y_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}.$$

Таким образом,

$$y_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.$$

Шаг 6. Интервалы решения

Квадратный трехчлен $2 y^2 — y -1$ положителен вне интервала между корнями, то есть

$$y < -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad y > 1.$$

Шаг 7. Анализ по функции $\sin x$

Поскольку $\sin x$ принимает значения только в интервале $[-1, 1]$, и

$$y > 1$$

не имеет решений.

Шаг 8. Рассмотрим

$$\sin x < -\frac{1}{2}.$$

Шаг 9. Решение неравенства $\sin x < -\frac{1}{2}$

Найдем арксинус:

$$\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Шаг 10. Общие решения $\sin x = -\frac{1}{2}$

$$x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n.$$

Шаг 11. Интервалы, где $\sin x < -\frac{1}{2}$:

На интервале от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$ с шагом $2\pi$:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 12. Итог для первой задачи:

$$\boxed{ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n. }$$

Задача 2.

Дано неравенство:

$$2 \sin^2 x — 5 \cos x + 1 > 0.$$

Шаг 1. Перепишем через $\cos x$

Известно:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x.$$

Подставим:

$$2 (1 — \cos^2 x) — 5 \cos x + 1 > 0.$$

Шаг 2. Раскроем скобки и упростим

$$2 — 2 \cos^2 x — 5 \cos x + 1 > 0,$$

то есть

$$-2 \cos^2 x — 5 \cos x + 3 > 0.$$

Перемножим на $-1$, меняя знак:

$$2 \cos^2 x + 5 \cos x — 3 < 0.$$

Шаг 3. Вводим замену

Пусть

$$y = \cos x.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$2 y^2 + 5 y — 3 < 0.$$

Шаг 4. Вычисляем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.$$

Шаг 5. Находим корни уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}.$$

Таким образом,

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{4} = -3, \quad y_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 6. Интервалы решения

Квадратный трёхчлен $2 y^2 + 5 y — 3$ меньше нуля между корнями:

$$-3 < y < \frac{1}{2}.$$

Шаг 7. Анализ по функции $\cos x$

$$\cos x > -3$$

выполняется при любом $x$, так как $\cos x \in [-1,1]$.

Шаг 8. Рассматриваем ограничение

$$\cos x < \frac{1}{2}.$$

Шаг 9. Решение неравенства $\cos x < \frac{1}{2}$

Найдем арккосинус:

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 10. Интервалы, где $\cos x < \frac{1}{2}$:

От

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

до

$$2\pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 11. Итог для второй задачи:

$$\boxed{ \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n. }$$