ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 653 Алимов — Подробные Ответы

1. cos(x/3+2) > =1/2;
2. sin(x/4-3) < -корень 2/2.

1. $\cos \left( \frac{x}{3} + 2 \right) \geq \frac{1}{2}$;
   $-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \leq \frac{x}{3} + 2 \leq \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$;
   $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{x}{3} + 2 \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   $-\frac{\pi}{3} — 2 + 2\pi n \leq \frac{x}{3} \leq \frac{\pi}{3} — 2 + 2\pi n$;
   Ответ: $-\pi — 6 + 6\pi n \leq x \leq \pi — 6 + 6\pi n$.
2. $\sin \left( \frac{x}{4} — 3 \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
   $-\pi — \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n$;
   $-\pi + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$;
   $-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi n < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi n$;
   Ответ: $-3\pi + 12 + 8\pi n < x < -\pi + 12 + 8\pi n$.

Задача 1: $\cos \left( \frac{x}{3} + 2 \right) \geq \frac{1}{2}$

Шаг 1: Преобразуем исходное неравенство.

Необходимо решить неравенство $\cos \left( \frac{x}{3} + 2 \right) \geq \frac{1}{2}$.

Для этого используем тот факт, что $\cos \theta \geq \frac{1}{2}$ для углов $\theta$, лежащих в интервале:

$$-\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}.$$

Таким образом, неравенство можно записать как:

$$-\frac{\pi}{3} \leq \frac{x}{3} + 2 \leq \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Изолируем $x$.

Теперь, чтобы найти $x$, вычитаем 2 из всех частей неравенства:

$$-\frac{\pi}{3} — 2 \leq \frac{x}{3} \leq \frac{\pi}{3} — 2.$$

Шаг 3: Умножаем на 3, чтобы избавиться от дроби.

Умножаем обе части неравенства на 3:

$$3 \left( -\frac{\pi}{3} — 2 \right) \leq x \leq 3 \left( \frac{\pi}{3} — 2 \right),$$

что даёт:

$$-\pi — 6 \leq x \leq \pi — 6.$$

Шаг 4: Включаем периодичность функции косинуса.

Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, решение будет повторяться через $2\pi n$, где $n$ — целое число. Тогда окончательное решение будет следующим:

$$-\pi — 6 + 6\pi n \leq x \leq \pi — 6 + 6\pi n.$$

Ответ: $-\pi — 6 + 6\pi n \leq x \leq \pi — 6 + 6\pi n$.

Задача 2: $\sin \left( \frac{x}{4} — 3 \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Преобразуем исходное неравенство.

Необходимо решить неравенство:

$$\sin \left( \frac{x}{4} — 3 \right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углу $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, неравенство можно переписать так:

$$\sin \left( \frac{x}{4} — 3 \right) < \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 2: Решаем неравенство $\sin \theta < \sin \alpha$.

Знаем, что для функции синуса неравенство $\sin \theta < \sin \alpha$ выполняется, когда $\theta$ лежит в интервале:

$$\left( -\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n, \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n \right),$$

где $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$, и, следовательно:

$$-\pi — \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n.$$

Шаг 3: Подставляем значение $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Подставим $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{\pi}{4}$:

$$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{4} — 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Изолируем $x$.

Теперь, добавим 3 к обеим частям неравенства:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + 3.$$

Теперь умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$-3\pi + 8\pi n < x < -\pi + 12 + 8\pi n.$$

Ответ: $-3\pi + 12 + 8\pi n < x < -\pi + 12 + 8\pi n$.

Итоговые ответы:

1. $-\pi — 6 + 6\pi n \leq x \leq \pi — 6 + 6\pi n$.
2. $-3\pi + 12 + 8\pi n < x < -\pi + 12 + 8\pi n$.