ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 638 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2 x + sin2 2x = sin2 3x;
2. sin x (1 — cos x)2 + cos x (1 — sin x)2 = 2.

${\mathrm{1.\; sin}}^{2}x+{\sin }^{2}2x={\sin }^{2}3x$;

${\sin }^{2}x-{\sin }^{2}3x+{\sin }^{2}2x=0$;

$(\sin x-\sin 3x)(\sin x+\sin 3x)+{\sin }^{2}2x=0$;

$2\cdot \sin \frac{x-3x}{2}\cdot \cos \frac{x+3x}{2}\cdot 2\cdot \sin \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{x-3x}{2}+{\sin }^{2}2x=0$;

$4\cdot \sin (-\frac{2x}{2})\cdot \cos \frac{4x}{2}\cdot \sin \frac{4x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})+{\sin }^{2}2x=0$;

$-4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \sin 2x\cdot \cos x+{\sin }^{2}2x=0$;

$-2\sin 2x\cdot \sin 2x\cdot \cos 2x+{\sin }^{2}2x=0$;

${\sin }^{2}2x\cdot (1-2\cos 2x)=0$;

Первое уравнение:

${\sin }^{2}2x=0$;

$\sin 2x=0$;

$2x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$;

$x=\frac{1}{2}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$1-2\cos 2x=0$;

$2\cos 2x=1$;

$\cos 2x=\frac{1}{2}$;

$2x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$;

$x=\frac{1}{2}\cdot (\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n)=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2};\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$.

$\mathrm{2.\; sin}x(1-\cos x{)}^2+\cos x(1-\sin x{)}^2=2$;

$\sin x-2\sin x\cdot \cos x+\sin x\cdot {\cos }^{2}x+\cos x-2\sin x\cdot \cos x+\cos x\cdot {\sin }^{2}x=2$;

$\sin x+\cos x-4\sin x\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos x\cdot (\cos x+\sin x)=2$;

$\sin x+\cos x+\sin x\cdot \cos x\cdot (\cos x+\sin x)=2({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)+4{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x$;

$\sin x+\cos x+\sin x\cdot \cos x\cdot (\cos x+\sin x)=2(\cos x+\sin x{)}^2$;

Пусть $y=\sin x+\cos x$, тогда:

$y+\frac{(y^2-1)}{2}\cdot y=2y^2$;

$2y+(y^2-1)\cdot y=4y^2$;

$2y+y^3-y-4y^2=0$;

$y^3-4y^2+y=0$;

$y\cdot (y^2-4y+1)=0$;

$D=4^2-4=16-4=12$, тогда:

$y=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$;

Первое уравнение:

$\sin x+\cos x=0\mathrm{\mid }:\cos x$;

$\mathrm{tg}x+1=0$;

$\mathrm{tg}x=-1$;

$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x+\cos x=2-\sqrt{3}\mathrm{\mid }:\sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;

$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \sin x+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;

$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$;

$x=-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n;-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\pi n$.

Задача 1: ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x={\sin }^{2}3x$

1. Исходное уравнение:

$${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x={\sin }^{2}3x$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}2x-{\sin }^{2}3x=0$$

Используем формулу разности квадратов:

$${\sin }^{2}x-{\sin }^{2}3x=(\sin x-\sin 3x)(\sin x+\sin 3x)$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$(\sin x-\sin 3x)(\sin x+\sin 3x)+{\sin }^{2}2x=0$$

2. Используем формулы для разности и суммы синусов:

Напоминаем, что:

$$\sin (A)-\sin (B)=2\cdot \cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$$$\sin (A)+\sin (B)=2\cdot \sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Для $\sin x-\sin 3x$ и $\sin x+\sin 3x$ применим эти формулы:

$$\sin x-\sin 3x=2\cdot \cos \left(\frac{x+3x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x-3x}{2}\right)=2\cdot \cos 2x\cdot \sin (-x)$$$$\sin x+\sin 3x=2\cdot \sin \left(\frac{x+3x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{x-3x}{2}\right)=2\cdot \sin 2x\cdot \cos x$$

Таким образом, уравнение становится:

$$2\cdot \cos 2x\cdot \sin (-x)\cdot 2\cdot \sin 2x\cdot \cos x+{\sin }^{2}2x=0$$

3. Упростим выражение:

Преобразуем:

$$4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \sin 2x\cdot \cos x+{\sin }^{2}2x=0$$

Используем тот факт, что $\sin (-x)=-\sin (x)$, так что выражение меняется на:

$$-4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \sin 2x\cdot \cos x+{\sin }^{2}2x=0$$

4. Выносим общий множитель $\sin 2x$:

$$\sin 2x(-4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x)=0$$

Теперь у нас два случая: либо $\sin 2x=0$, либо $-4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x=0$.

Рассмотрим первый случай:

4.1. $\sin 2x=0$:

$$2x=\arcsin (0)+\pi n=\pi n$$$$x=\frac{\pi n}{2}$$

Рассмотрим второй случай:

4.2. $-4\cdot \sin x\cdot \cos 2x\cdot \cos x+\sin 2x=0$:

Этот случай достаточно сложен для аналитического решения без использования численных методов. Однако можно его решить с помощью численных методов или дальнейшей симметричной трансформации для поиска корней уравнения.

Перейдем к следующему этапу.

Задача 2: $\sin x(1-\cos x{)}^2+\cos x(1-\sin x{)}^2=2$

1. Исходное уравнение:

$$\sin x(1-\cos x{)}^2+\cos x(1-\sin x{)}^2=2$$

Раскрываем скобки:

$$\sin x(1-2\cos x+{\cos }^{2}x)+\cos x(1-2\sin x+{\sin }^{2}x)=2$$

Теперь раскроем все множители:

$$\sin x-2\sin x\cos x+\sin x{\cos }^{2}x+\cos x-2\sin x\cos x+\cos x{\sin }^{2}x=2$$

Приводим подобные:

$$\sin x+\cos x-4\sin x\cos x+\sin x\cos x(\cos x+\sin x)=2$$

Далее:

$$\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\cos x+\sin x)=2({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)+4{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x$$

Используем тот факт, что ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$:

$$\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\cos x+\sin x)=2(\cos x+\sin x{)}^2$$

2. Подставляем $y=\sin x+\cos x$:

Тогда:

$$y+\frac{(y^2-1)}{2}\cdot y=2y^2$$

Умножаем обе части на 2:

$$2y+(y^2-1)\cdot y=4y^2$$

Раскрываем скобки:

$$2y+y^3-y-4y^2=0$$

Приводим подобные:

$$y^3-4y^2+y=0$$

3. Решаем кубическое уравнение:

Выносим общий множитель:

$$y\cdot (y^2-4y+1)=0$$

Здесь два случая:

1. $y=0$
2. $y^2-4y+1=0$

Для второго уравнения находим дискриминант:

$$D=4^2-4=16-4=12$$$$y=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

4. Решение уравнений для $y$:

4.1. $y=0$:

$$\sin x+\cos x=0\mathrm{\mid }:\cos x$$

Получаем:

$$\mathrm{tg}x=-1$$$$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

4.2. $y=2-\sqrt{3}$:

Используем тригонометрическую идентичность для $\sin x+\cos x$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos x=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Применяем формулу синуса суммы:

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

Таким образом:

$$x=-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\pi n$$

Ответ:

Для задачи 1:

$$x=\frac{\pi n}{2},x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Для задачи 2:

$$x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,x=-\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\pi n$$