ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 610 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (610—612).

1. tgx=1/корень 3;
2. tgx=корень 3;
3. tgx=-корень 3;
4. tgx=-1;
5. tgx=4;
6. tgx=-5.

1. $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$;
   $x = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$.
2. $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$;
   $x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n$.
3. $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$;
   $x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi n$.
4. $\operatorname{tg} x = -1$;
   $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.
5. $\operatorname{tg} x = 4$;
   $x = \operatorname{arctg} 4 + \pi n$;
   Ответ: $\operatorname{arctg} 4 + \pi n$.
6. $\operatorname{tg} x = -5$;
   $x = \operatorname{arctg}(-5) + \pi n = -\operatorname{arctg} 5 + \pi n$;
   Ответ: $-\operatorname{arctg} 5 + \pi n$.

1) $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Функция $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ говорит нам, что тангенс угла $x$ равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Мы должны найти угол $x$, для которого это верно.

Из таблицы стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Таким образом, $x = \frac{\pi}{6}$.

Шаг 2. Учтем периодичность функции $\operatorname{tg} x$:

Тангенс — это периодическая функция с периодом $\pi$, то есть:

$$\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x.$$

Это означает, что для любого значения $x$, если $x = \frac{\pi}{6}$, то следующие решения будут $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

2) $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Задача $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ аналогична предыдущей, но теперь нам нужно найти угол, для которого тангенс равен $\sqrt{3}$.

Из стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}.$$

Таким образом, $x = \frac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Учтем периодичность функции $\operatorname{tg} x$:

Как и в предыдущем случае, для тангенса периодичность равна $\pi$, то есть решения будут $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

3) $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Задача $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$ аналогична предыдущей, но теперь нам нужно найти угол, для которого тангенс равен $-\sqrt{3}$.

Из стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}.$$

Таким образом, $x = -\frac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Учтем периодичность функции $\operatorname{tg} x$:

Поскольку тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$, то все возможные решения для этого уравнения можно записать в виде:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n,$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

4) $\operatorname{tg} x = -1$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Задача $\operatorname{tg} x = -1$ просит нас найти угол $x$, для которого тангенс равен $-1$.

Из стандартных значений тангенса известно, что:

$$\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1.$$

Таким образом, $x = -\frac{\pi}{4}$.

Шаг 2. Учтем периодичность функции $\operatorname{tg} x$:

Тангенс имеет период $\pi$, следовательно, все возможные решения будут иметь вид:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

5) $\operatorname{tg} x = 4$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Задача $\operatorname{tg} x = 4$ просит нас найти угол $x$, для которого тангенс равен 4.

Для этого мы используем арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg}(4).$$

Здесь мы не имеем стандартного значения, поэтому ответ будет представлен через арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg}(4) + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \operatorname{arctg}(4) + \pi n.$$

6) $\operatorname{tg} x = -5$

Шаг 1. Используем определение функции арктангенса:

Задача $\operatorname{tg} x = -5$ просит нас найти угол $x$, для которого тангенс равен $-5$.

Для этого мы используем арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg}(-5).$$

Здесь также нет стандартного значения, и ответ будет через арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg}(-5) + \pi n.$$

Ответ:

$$x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi n.$$

Итоговые ответы:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$,
2. $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$,
3. $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$,
4. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$,
5. $x = \operatorname{arctg}(4) + \pi n$,
6. $x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi n$.