ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 597 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения sin 2x = 1/2, принадлежащие отрезку [0; 2пи].

$\sin 2x = \frac{1}{2};$

$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$

Все корни уравнения на отрезке $[0; 2\pi]$:

$x_1 = \frac{\pi}{12};$
$x_2 = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12};$
$x_3 = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{2} = \frac{13\pi}{12};$
$x_4 = -\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = \frac{17\pi}{12};$

1. Исходное уравнение

У нас есть уравнение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}.$$

Для решения этого уравнения необходимо найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому равенству.

2. Решение для $\sin 2x = \frac{1}{2}$

Сначала вспоминаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ имеет решения в следующих точках:

$$\theta = \arcsin\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}.$$

Однако, поскольку синус — периодическая функция, то для любого $n \in \mathbb{Z}$ верны следующие выражения для $\theta$:

$$\theta = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Таким образом, для $\sin 2x = \frac{1}{2}$ мы можем записать два базовых уравнения:

$$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

3. Разделим обе стороны на 2, чтобы получить выражения для $x$

Теперь решим каждое из этих уравнений относительно $x$:

• Для первого уравнения:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \pi n.$$

• Для второго уравнения:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{5\pi}{12} + \pi n.$$

Таким образом, общее решение уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ имеет вид:

$$x = \frac{\pi}{12} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. Нахождение всех корней на отрезке $[0; 2\pi]$

Теперь нам нужно найти все корни, которые лежат на отрезке $[0; 2\pi]$. Для этого подставим различные значения $n$ и проверим, при каких значениях $x$ выполняется условие $0 \leq x \leq 2\pi$.

Корни для $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$:

При $n = 0$:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}.$$

Это значение лежит в интервале $[0; 2\pi]$.

При $n = 1$:

$$x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}.$$

Это значение также лежит в интервале $[0; 2\pi]$.

При $n = 2$:

$$x_3 = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}.$$

Это значение уже не лежит в интервале $[0; 2\pi]$, так как $\frac{25\pi}{12} > 2\pi$.

Корни для $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$:

При $n = 0$:

$$x_4 = \frac{5\pi}{12}.$$

Это значение лежит в интервале $[0; 2\pi]$.

При $n = 1$:

$$x_5 = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{5\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}.$$

Это значение также лежит в интервале $[0; 2\pi]$.

При $n = 2$:

$$x_6 = \frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{5\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{29\pi}{12}.$$

Это значение не лежит в интервале $[0; 2\pi]$, так как $\frac{29\pi}{12} > 2\pi$.

5. Итоговые корни уравнения на отрезке $[0; 2\pi]$

После проверки значений мы получаем, что все корни, которые лежат на отрезке $[0; 2\pi]$, это:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{13\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{5\pi}{12}, \quad x_4 = \frac{17\pi}{12}.$$

Эти четыре значения являются всеми корнями уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

6. Заключение

Таким образом, все корни уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 2\pi]$:

$$x_1 = \frac{\pi}{12}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{12}, \quad x_3 = \frac{13\pi}{12}, \quad x_4 = \frac{17\pi}{12}.$$

Каждое из этих значений удовлетворяет исходному уравнению, так как синус для этих значений будет равен $\frac{1}{2}$.