ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 573 Алимов — Подробные Ответы

1. cos4x=1;
2. cos2x=-1;
3. корень cosx/4=-1;
4. 2cosx/3=корень 3;
5. cos(x+пи/3)=0;
6. cos(2x-пи/4)=0.

1. $\cos 4x = 1$;
   $4x = \arccos 1 + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$;
   $x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.
2. $\cos 2x = -1$;
   $2x = (\pi — \arccos 1) + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;
   $x = \frac{\pi + 2\pi n}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.
3. $\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1$;
   $\cos \frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $\frac{x}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
   $x = \left( \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) \cdot 4 = \pm 3\pi + 8\pi n$;
   Ответ: $\pm 3\pi + 8\pi n$.
4. $2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}$;
   $\cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $\frac{x}{3} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
   $x = \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) \cdot 3 = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n$.
5. $\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$;
   $x + \frac{\pi}{3} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x = \frac{\pi}{2} + \pi n — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi — 2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$.
6. $\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$;
   $2x — \frac{\pi}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

1) $\cos 4x = 1$

Шаг 1: Запишем исходное уравнение:

$$\cos 4x = 1$$

Шаг 2: Найдём все значения $4x$, при которых косинус равен 1. Косинус равен 1 в точках:

$$\cos \theta = 1 \iff \theta = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Здесь $\theta = 4x$, значит:

$$4x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Решим уравнение относительно $x$:

$$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $\cos 2x = -1$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$\cos 2x = -1$$

Шаг 2: Найдём все значения $2x$, при которых косинус равен $-1$. Косинус равен $-1$ в точках:

$$\cos \theta = -1 \iff \theta = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Здесь $\theta = 2x$, следовательно:

$$2x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Найдём $x$:

$$x = \frac{\pi + 2\pi m}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

3) $\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1$$

Шаг 2: Выразим косинус:

$$\cos \frac{x}{4} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 3: Найдём углы, при которых косинус равен $-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Поэтому:

$$\cos \phi = -\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{3\pi}{4}$$

Значит, общее решение для аргумента косинуса:

$$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Объяснение знака $\pm$:
Функция косинус чётная, значит, если $\cos \alpha = a$, то

$$\cos \alpha = \cos (-\alpha) = a$$

поэтому учитываем обе ветви $\pm$.

Шаг 4: Умножаем обе части на 4:

$$x = 4 \left( \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm 3\pi + 8\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm 3\pi + 8\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4) $2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Выразим косинус:

$$\cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 3: Найдём углы, при которых косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Общее решение для аргумента:

$$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Умножим обе части на 3:

$$x = 3 \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

5) $\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$$

Шаг 2: Найдём аргументы, при которых косинус равен нулю. Косинус равен нулю при:

$$\cos \theta = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Здесь $\theta = x + \frac{\pi}{3}$, значит:

$$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

Шаг 3: Выразим $x$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k — \frac{\pi}{3}$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Значит:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi k$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

6) $\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0$$

Шаг 2: Используем общее решение для косинуса равного нулю:

$$\theta = 2x — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Выразим $2x$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m + \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Следовательно:

$$2x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$$

Шаг 5: Найдём $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi m \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$