ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 554 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{\sqrt{3}\cdot (\cos {75}^{\circ }-\cos {15}^{\circ })}{1-2{\sin }^2{15}^{\circ }}$$
2. $$\frac{2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1}{1+8{\sin }^2\frac{\pi }{8}\cdot {\cos }^2\frac{\pi }{8}}$$

1.

$$\frac{\sqrt{3} \cdot (\cos 75^\circ — \cos 15^\circ)}{1 — 2 \sin^2 15^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cdot (-2) \cdot \sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \cdot \sin \frac{75^\circ — 15^\circ}{2}}{\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ — 2 \sin^2 15^\circ} =$$ $$= \frac{-2 \sqrt{3} \cdot \sin \frac{90^\circ}{2} \cdot \sin \frac{60^\circ}{2}}{\cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ} = \frac{-2 \sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{-2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =$$ $$= -\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2};$$

Ответ: $-\sqrt{2}$.

2.

$$\frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{8} — 1}{1 + 8 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{8} — \left( \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} \right)}{1 + 2 \left( 2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \right)^2} = \frac{\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8}}{1 + 2 \sin^2 \frac{\pi}{4}} =$$ $$= \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{1 + 1 — \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2 — \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2 — 0} = \frac{\sqrt{2}}{4};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

1)

$$\frac{\sqrt{3} \cdot (\cos 75^\circ — \cos 15^\circ)}{1 — 2 \sin^2 15^\circ}$$

ШАГ 1: Разность косинусов

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим к $\cos 75^\circ — \cos 15^\circ$:

$$\cos 75^\circ — \cos 15^\circ = -2 \sin \left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{75^\circ — 15^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin(45^\circ) \cdot \sin(30^\circ)$$

ШАГ 2: Подстановка в числитель

Подставим обратно в исходную дробь:

$$\frac{\sqrt{3} \cdot (-2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ)}{1 — 2 \sin^2 15^\circ} = \frac{-2 \sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ}{1 — 2 \sin^2 15^\circ}$$

ШАГ 3: Знаменатель – преобразование через тригонометрическое тождество

Заметим, что:

$$1 = \cos^2 x + \sin^2 x \Rightarrow 1 — 2 \sin^2 x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Поэтому:

$$1 — 2 \sin^2 15^\circ = \cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$$

ШАГ 4: Используем формулу косинуса двойного угла

$$\cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos(30^\circ) = \cos^2 15^\circ — \sin^2 15^\circ$$

Итак:

$$\frac{-2 \sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}$$

ШАГ 5: Подставим значения тригонометрических функций

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

ШАГ 6: Подстановка

$$\frac{-2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-2 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

ШАГ 7: Сокращение дроби

$$= \left( -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = — \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = — \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{2 \sqrt{3}} = — \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\sqrt{2}}$$

2)

$$\frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{8} — 1}{1 + 8 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{8}}$$

ШАГ 1: Преобразуем числитель

$$2 \cos^2 \frac{\pi}{8} — 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

(используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1$)

ШАГ 2: Знаменатель – преобразуем произведение синуса и косинуса

Сначала выразим произведение:

$$\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \left( \sin x \cdot \cos x \right)^2$$

Знаменатель:

$$1 + 8 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 + 8 \left( \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \right)^2 = 1 + 2 \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} \right)^2$$

ШАГ 3: Используем формулу двойного угла для синуса

$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \Rightarrow 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$1 + 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1 + 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 + 1 = 2$$

ШАГ 4: Возвращаемся к дроби

$$\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2}$$ $$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\sqrt{2}}{4}}$$