ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 545 Алимов — Подробные Ответы

Разложить на множители:

1. 1 — cos а + sin а;
2. 1 — 2 cos а + cos 2а;
3. 1 + sin а — cos а — tg а;
4. 1 + sin а + cos а + tg а.

1.

$$1 — \cos a + \sin a = \left( \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2} \right) — \left( \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2} \right) + \sin a =$$ $$= 2 \sin^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \cos \frac{a}{2} = 2 \sin \frac{a}{2} \left( \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right) =$$ $$= 2 \sin \frac{a}{2} \left( \sin \frac{a}{2} + \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2} \right) \right) = 2 \sin \frac{a}{2} \cdot 2 \sin \frac{\frac{a}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{a}{2} — \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2}}{2} =$$ $$= 4 \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 4 \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$$ $$= 2 \sqrt{2} \cdot \sin \frac{a}{2} \cdot \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right);$$

2.

$$1 — 2 \cos a + \cos 2a = \left( \cos^2 a + \sin^2 a \right) + \left( \cos^2 a — \sin^2 a \right) — 2 \cos a =$$ $$= 2 \cos^2 a — 2 \cos a = 2 \cos a \cdot (\cos a — 1) =$$ $$= 2 \cos a \cdot \left( \left( \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2} \right) — \left( \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2} \right) \right) = 2 \cos a \cdot \left( -2 \sin^2 \frac{a}{2} \right) =$$ $$= -4 \cos a \cdot \sin^2 \frac{a}{2};$$

3.

$$1 + \sin a — \cos a — \operatorname{tg} a = \frac{\cos a + \sin a \cdot \cos a — \cos^2 a — \sin a}{\cos a} =$$ $$= \frac{\cos a (1 — \cos a) — \sin a (1 — \cos a)}{\cos a} = \frac{(\cos a — \sin a)(1 — \cos a)}{\cos a} =$$ $$= (1 — \operatorname{tg} a)(1 — \cos a);$$

4.

$$1 + \sin a + \cos a + \operatorname{tg} a = \frac{\cos a + \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a + \sin a}{\cos a} =$$ $$= \frac{\cos a (1 + \cos a) + \sin a (1 + \cos a)}{\cos a} = \frac{(\cos a + \sin a)(1 + \cos a)}{\cos a} =$$ $$= (1 + \operatorname{tg} a)(1 + \cos a);$$

1)

Дано выражение:

$$1 — \cos a + \sin a$$

Шаг 1. Представим 1 в виде суммы квадратов синуса и косинуса половинного угла:

$$1 = \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}$$

Шаг 2. Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos a = \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}$$

Шаг 3. Подставляем в исходное выражение:

$$1 — \cos a + \sin a = \left(\cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2}\right) — \left(\cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}\right) + \sin a$$

Шаг 4. Упростим скобки:

$$= \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2} — \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2} + \sin a = 2 \sin^2 \frac{a}{2} + \sin a$$

Шаг 5. Запишем $\sin a$ через половинный угол:

$$\sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 6. Подставляем:

$$1 — \cos a + \sin a = 2 \sin^2 \frac{a}{2} + 2 \sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 7. Вынесем общий множитель $2 \sin \frac{a}{2}$:

$$= 2 \sin \frac{a}{2} \left( \sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} \right)$$

Шаг 8. Представим $\cos \frac{a}{2}$ как $\sin$ сдвинутого аргумента:

$$\cos \frac{a}{2} = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{a}{2} \right)$$

Для удобства используем формулу суммы синусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

Шаг 9. Пусть

$$x = \frac{a}{2}, \quad y = \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}$$

Тогда

$$\sin \frac{a}{2} + \sin \left( \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2} \right) = 2 \sin \frac{\frac{a}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}}{2} \cdot \cos \frac{\frac{a}{2} — \left(\frac{\pi}{2} + \frac{a}{2}\right)}{2}$$

Шаг 10. Упростим аргументы:

$$\frac{a/2 + \pi/2 + a/2}{2} = \frac{a + \pi/2}{2} = \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{a/2 — \pi/2 — a/2}{2} = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 11. Подставляем:

$$\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} = 2 \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 12. Используем, что $\cos(-x) = \cos x$, и

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 13. Итого:

$$\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2} = 2 \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 14. Подставляем в общий множитель:

$$1 — \cos a + \sin a = 2 \sin \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sqrt{2} \sin \frac{a}{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$

Итог:

$$\boxed{ 1 — \cos a + \sin a = 2 \sqrt{2} \sin \frac{a}{2} \sin \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right) }$$

2)

Дано выражение:

$$1 — 2 \cos a + \cos 2a$$

Шаг 1. Используем тождество $1 = \cos^2 a + \sin^2 a$:

$$1 = \cos^2 a + \sin^2 a$$

Шаг 2. Выражение перепишем:

$$1 — 2 \cos a + \cos 2a = (\cos^2 a + \sin^2 a) — 2 \cos a + \cos 2a$$

Шаг 3. Представим $\cos 2a$ через квадраты половинных углов:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Шаг 4. Подставим:

$$= \cos^2 a + \sin^2 a — 2 \cos a + \cos^2 a — \sin^2 a = 2 \cos^2 a — 2 \cos a$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель $2 \cos a$:

$$= 2 \cos a (\cos a — 1)$$

Шаг 6. Используем формулу косинуса двойного угла для $\cos a$:

$$\cos a = \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2}$$

Шаг 7. Подставляем в скобки:

$$\cos a — 1 = \left( \cos^2 \frac{a}{2} — \sin^2 \frac{a}{2} \right) — \left( \cos^2 \frac{a}{2} + \sin^2 \frac{a}{2} \right) = -2 \sin^2 \frac{a}{2}$$

Шаг 8. Итого:

$$1 — 2 \cos a + \cos 2a = 2 \cos a \cdot (-2 \sin^2 \frac{a}{2}) = -4 \cos a \sin^2 \frac{a}{2}$$

Итог:

$$\boxed{ 1 — 2 \cos a + \cos 2a = -4 \cos a \sin^2 \frac{a}{2} }$$

3)

Дано выражение:

$$1 + \sin a — \cos a — \tg a$$

Шаг 1. Запишем $\tg a$ через синус и косинус:

$$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

Шаг 2. Приведём выражение к общему знаменателю $\cos a$:

$$1+\sin a-\cos a-\mathrm{tg}a=\frac{(1+\sin a-\cos a)\cos a-\sin a}{\cos a}=$$

$$1 + \sin a — \cos a — \tg a = \frac{(1 + \sin a — \cos a) \cos a — \sin a}{\cos a} = \frac{\cos a + \sin a \cos a — \cos^2 a — \sin a}{\cos a}$$

Шаг 3. Перегруппируем числитель:

$$= \frac{\cos a (1 — \cos a) — \sin a (1 — \cos a)}{\cos a} = \frac{(\cos a — \sin a)(1 — \cos a)}{\cos a}$$

Шаг 4. Разделим числитель и знаменатель:

$$= (1 — \cos a) \cdot \frac{\cos a — \sin a}{\cos a} = (1 — \cos a) (1 — \tg a)$$

Итог:

$$\boxed{ 1 + \sin a — \cos a — \tg a = (1 — \tg a)(1 — \cos a) }$$

4)

Дано выражение:

$$1 + \sin a + \cos a + \tg a$$

Шаг 1. Аналогично пункту 3, запишем $\tg a$ через синус и косинус, приведём к общему знаменателю:

$$1+\sin a+\cos a+\mathrm{tg}a=\frac{(1+\sin a+\cos a)\cos a+\sin a}{\cos a}=$$

$$1 + \sin a + \cos a + \tg a = \frac{(1 + \sin a + \cos a) \cos a + \sin a}{\cos a} = \frac{\cos a + \sin a \cos a + \cos^2 a + \sin a}{\cos a}$$

Шаг 2. Перегруппируем числитель:

$$= \frac{\cos a (1 + \cos a) + \sin a (1 + \cos a)}{\cos a} = \frac{(\cos a + \sin a)(1 + \cos a)}{\cos a}$$

Шаг 3. Разделим числитель и знаменатель:

$$= (1 + \cos a) \cdot \frac{\cos a + \sin a}{\cos a} = (1 + \cos a)(1 + \tg a)$$

Итог:

$$\boxed{ 1 + \sin a + \cos a + \tg a = (1 + \tg a)(1 + \cos a) }$$