ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 519 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество (519—520).

1. 2cos2(пи/4-a/2) = 1+sina;
2. 2sin2(пи/4 — a/2) = 1-sina;
3. (3-4cos2a + cos4a)/(3+4cos2a+cos4a) = tg4a;
4. (1+sin2a+co2a)/(1+sin2a — cos2a) = ctga.

1)

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 + \sin a;$$ $$2 \cos^2 \left( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \right) = 1 + \sin a;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2} = 1 + \sin a;$$ $$1 + \sin a = 1 + \sin a;$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{3 — 4 \cos 2a + \cos 4a}{3 + 4 \cos 2a + \cos 4a} = \operatorname{tg}^4 a;$$ $$\frac{2 — 4 \cos 2a + (1 + \cos 4a)}{2 + 4 \cos 2a + (1 + \cos 4a)} = \operatorname{tg}^4 a;$$ $$\frac{2 — 4 \cos 2a + 2 \cos^2 2a}{2 + 4 \cos 2a + 2 \cos^2 2a} = \operatorname{tg}^4 a;$$ $$\frac{1 — 2 \cos 2a + \cos^2 2a}{1 + 2 \cos 2a + \cos^2 2a} = \operatorname{tg}^4 a;$$ $$\left( \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} \right)^2 = \operatorname{tg}^4 a;$$ $$\operatorname{tg}^4 a = \operatorname{tg}^4 a;$$

Тождество доказано.

3)

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 — \sin a;$$ $$2 \sin^2 \left( \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \right) = 1 — \sin a;$$ $$2 \cdot \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2} = 1 — \sin a;$$ $$1 — \sin a = 1 — \sin a;$$

Тождество доказано.

4)

$$\frac{1 + \sin 2a + \cos 2a}{1 + \sin 2a — \cos 2a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{(\cos^2 a + \sin^2 a) + \sin 2a + (\cos^2 a — \sin^2 a)}{(\cos^2 a + \sin^2 a) + \sin 2a — (\cos^2 a — \sin^2 a)} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{2 \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a}{2 \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{2 \cos a (\cos a + \sin a)}{2 \sin a (\sin a + \cos a)} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a;$$ $$\operatorname{ctg} a = \operatorname{ctg} a;$$

Тождество доказано.

1) Доказать тождество

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 + \sin a$$

Шаг 1: Запишем угол в более удобном виде

$$\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

То есть:

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 2 \cos^2 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \right)$$

Шаг 2: Применим формулу понижения степени к косинусу

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставляем:

$$2 \cos^2 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos \left( \pi/2 — a \right)}{2} = 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 3: Используем формулу косинуса разности с $\pi/2$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a$$

Шаг 4: Подставляем обратно

$$1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 1 + \sin a$$

Итог:

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 + \sin a$$

Тождество доказано.

2) Доказать тождество

$$\frac{3 — 4 \cos 2a + \cos 4a}{3 + 4 \cos 2a + \cos 4a} = \operatorname{tg}^4 a$$

Шаг 1: Представим числа $3$ в виде $2 + 1$

$$\frac{3 — 4 \cos 2a + \cos 4a}{3 + 4 \cos 2a + \cos 4a} = \frac{2 — 4 \cos 2a + (1 + \cos 4a)}{2 + 4 \cos 2a + (1 + \cos 4a)}$$

Шаг 2: Используем формулу понижения степени для косинуса:

$$1 + \cos 4a = 2 \cos^2 2a$$

Подставляем:

$$\frac{2 — 4 \cos 2a + 2 \cos^2 2a}{2 + 4 \cos 2a + 2 \cos^2 2a}$$

Шаг 3: Делим числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{1 — 2 \cos 2a + \cos^2 2a}{1 + 2 \cos 2a + \cos^2 2a}$$

Шаг 4: Замечаем, что числитель и знаменатель — полные квадраты:

$$1 — 2 \cos 2a + \cos^2 2a = (1 — \cos 2a)^2$$ $$1 + 2 \cos 2a + \cos^2 2a = (1 + \cos 2a)^2$$

Шаг 5: Записываем дробь как квадрат отношения:

$$\left( \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} \right)^2$$

Шаг 6: Используем формулу тангенса двойного угла:

$$\tg^2 a = \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a}$$

Шаг 7: Тогда:

$$\left( \frac{1 — \cos 2a}{1 + \cos 2a} \right)^2 = \left( \tg^2 a \right)^2 = \tg^4 a$$

Итог:

Тождество доказано.

3) Доказать тождество

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 — \sin a$$

Шаг 1: Запишем угол в виде половины:

$$\frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 2: Используем формулу понижения степени для синуса:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставляем:

$$2 \sin^2 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} — a \right) \right) = 2 \cdot \frac{1 — \cos \left( \pi/2 — a \right)}{2} = 1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 3: Используем формулу косинуса разности с $\pi/2$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a$$

Шаг 4: Подставляем:

$$1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 1 — \sin a$$

Итог:

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 — \sin a$$

Тождество доказано.

4) Доказать тождество

$$\frac{1 + \sin 2a + \cos 2a}{1 + \sin 2a — \cos 2a} = \operatorname{ctg} a$$

Шаг 1: Представим единицу как сумму квадратов:

$$1 = \cos^2 a + \sin^2 a$$

Подставляем в числитель и знаменатель:

$$\frac{(\cos^2 a + \sin^2 a) + \sin 2a + (\cos^2 a — \sin^2 a)}{(\cos^2 a + \sin^2 a) + \sin 2a — (\cos^2 a — \sin^2 a)}$$

Шаг 2: Суммируем в числителе:

$$\cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a — \sin^2 a + \sin 2a = 2 \cos^2 a + \sin 2a$$

Шаг 3: Аналогично в знаменателе:

$$\cos^2 a + \sin^2 a — \cos^2 a + \sin^2 a + \sin 2a = 2 \sin^2 a + \sin 2a$$

Шаг 4: Записываем дробь:

$$\frac{2 \cos^2 a + \sin 2a}{2 \sin^2 a + \sin 2a}$$

Шаг 5: Выражаем $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$:

$$\frac{2 \cos^2 a + 2 \sin a \cos a}{2 \sin^2 a + 2 \sin a \cos a} = \frac{2 \cos a (\cos a + \sin a)}{2 \sin a (\sin a + \cos a)}$$

Шаг 6: Сокращаем общий множитель $(\cos a + \sin a)$ и 2:

$$\frac{\cos a}{\sin a} = \operatorname{ctg} a$$

Итог:

Тождество доказано.