ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 518 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. $$\frac{1-\cos a}{\sin a}$$
2. $$\frac{\sin a}{1+\cos a}$$
3. $$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}$$
4. $$\frac{1+\cos 4a}{\sin 4a}$$
5. $$\frac{1+\cos 2a+\sin 2a}{\sin a+\cos a}$$
6. $$(1-\cos 2a)\cdot \mathrm{ctg}a$$

1.

$$\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{2}{\sin a}\cdot \frac{1-\cos a}{2}=\frac{2}{2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}\cdot {\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}$$

2.

$$\frac{\sin a}{1+\cos a}=\sin a\cdot \frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1+\cos a}{2}\right)}^{-1}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}{2}\cdot {\left({\cos }^2\frac{a}{2}\right)}^{-1}=$$

$$=\frac{\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}{{\cos }^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}$$

3.

$$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}=\frac{({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+\sin 2a}{({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+\sin 2a}=$$

$$=\frac{2{\sin }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a}{2{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a}=$$

$$=\frac{2\sin a(\sin a+\cos a)}{2\cos a(\cos a+\sin a)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a$$

4.

$$\frac{1+\cos 4a}{\sin 4a}=\frac{2}{\sin 4a}\cdot \frac{1+\cos 4a}{2}=\frac{2}{2\sin 2a\cdot \cos 2a}\cdot {\cos }^{2}2a=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\mathrm{ctg}2a$$

5.

$$\frac{1+\cos 2a+\sin 2a}{\sin a+\cos a}=\frac{({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+\sin 2a}{\sin a+\cos a}=$$

$$=\frac{2{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a}{\sin a+\cos a}=$$

$$=\frac{2\cos a(\cos a+\sin a)}{\sin a+\cos a}=2\cos a$$

6.

$$(1-\cos 2a)\cdot \mathrm{ctg}a=(({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a))\cdot \mathrm{ctg}a=2{\sin }^{2}a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=$$

$$=2\sin a\cdot \cos a=\sin 2a$$

1) Вычислить:

$$\frac{1-\cos a}{\sin a}$$

Шаг 1: Представляем числитель в виде выражения с половинными углами

Используем формулу понижения степени:

$$1-\cos a=2{\sin }^2\frac{a}{2}$$

Шаг 2: Подставляем в дробь

$$\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{2{\sin }^2\frac{a}{2}}{\sin a}$$

Шаг 3: Записываем $\sin a$ через половинные углы

Формула двойного угла для синуса:

$$\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 4: Подставляем $\sin a$

$$\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{2{\sin }^2\frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}=\frac{{\sin }^2\frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}$$

Шаг 5: Получаем выражение для тангенса половинного угла

$$\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1-\cos a}{\sin a}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}}}$$

2) Вычислить:

$$\frac{\sin a}{1+\cos a}$$

Шаг 1: Представляем знаменатель через половинные углы

Используем формулу:

$$1+\cos a=2{\cos }^2\frac{a}{2}$$

Шаг 2: Подставляем

$$\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{\sin a}{2{\cos }^2\frac{a}{2}}$$

Шаг 3: Выражаем числитель через половинные углы

$$\sin a=2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}$$

Шаг 4: Подставляем

$$\frac{\sin a}{1+\cos a}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}{2{\cos }^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin \frac{a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}}{{\cos }^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}$$

Шаг 5: Записываем результат

$$\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\sin a}{1+\cos a}=\mathrm{tg}\frac{a}{2}}}$$

3) Вычислить:

$$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}$$

Шаг 1: Используем формулы двойного угла:

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a,\sin 2a=2\sin a\cos a$$

Шаг 2: Записываем числитель:

$$1-\cos 2a+\sin 2a=({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a$$

Шаг 3: Приводим подобные:

$$={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a=2{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a$$

Шаг 4: Записываем знаменатель:

$$1+\cos 2a+\sin 2a=({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a$$

Шаг 5: Приводим подобные:

$$={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a=2{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a$$

Шаг 6: Подставляем числитель и знаменатель в дробь:

$$\frac{2{\sin }^{2}a+2\sin a\cos a}{2{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a}=\frac{2\sin a(\sin a+\cos a)}{2\cos a(\cos a+\sin a)}$$

Шаг 7: Сокращаем общий множитель $2(\sin a+\cos a)$:

$$=\frac{\sin a}{\cos a}=\mathrm{tg}a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}=\mathrm{tg}a}}$$

4) Вычислить:

$$\frac{1+\cos 4a}{\sin 4a}$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для числителя:

$$1+\cos 4a=2{\cos }^{2}2a$$

Шаг 2: Используем формулу двойного угла для синуса в знаменателе:

$$\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$$

Шаг 3: Подставляем в дробь:

$$\frac{1+\cos 4a}{\sin 4a}=\frac{2{\cos }^{2}2a}{2\sin 2a\cos 2a}=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}$$

Шаг 4: Записываем результат:

$$\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\mathrm{ctg}2a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1+\cos 4a}{\sin 4a}=\mathrm{ctg}2a}}$$

5) Вычислить:

$$\frac{1+\cos 2a+\sin 2a}{\sin a+\cos a}$$

Шаг 1: Используем формулы двойного угла для числителя:

$$1={\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a$$$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$$$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$

Шаг 2: Записываем числитель:

$$1+\cos 2a+\sin 2a=({\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a)+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)+2\sin a\cos a$$

Шаг 3: Суммируем:

$$=2{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a$$

Шаг 4: Записываем дробь:

$$\frac{2{\cos }^{2}a+2\sin a\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{2\cos a(\cos a+\sin a)}{\sin a+\cos a}$$

Шаг 5: Сокращаем общий множитель $\sin a+\cos a$:

$$=2\cos a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1+\cos 2a+\sin 2a}{\sin a+\cos a}=2\cos a}}$$

6) Вычислить:

$$(1-\cos 2a)\cdot \mathrm{ctg}a$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для $1-\cos 2a$:

$$1-\cos 2a=2{\sin }^{2}a$$

Шаг 2: Записываем выражение:

$$(1-\cos 2a)\cdot \mathrm{ctg}a=2{\sin }^{2}a\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$$

Шаг 3: Упрощаем

$$=2\sin a\cdot \cos a$$

Шаг 4: Используем формулу двойного угла для синуса

$$2\sin a\cos a=\sin 2a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (1-\cos 2a)\cdot \mathrm{ctg}a=\sin 2a}}$$