ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 516 Алимов — Подробные Ответы

Пусть sin а = 3/5 и пи/2 < а < пи. Вычислить:

1. sina/2;
2. cosa/2;
3. tga/2;
4. ctga/2.

Известно, что $\sin a = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, то есть угол $a$ принадлежит второй координатной четверти (косинус $a$ отрицательное число).

Найдем значение косинуса угла $a$:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a};$$ $$\cos a = -\sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} = -0,8;$$

$\sin \frac{a}{2}$;

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{2} = \frac{1 + 0,8}{2} = \frac{1,8}{2} = 0,9 = \frac{9}{10};$$ $$\sin \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10};$$

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\cos \frac{a}{2}$;

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2} = \frac{1 — 0,8}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1 = \frac{1}{10};$$ $$\cos \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{10}{100}} = \frac{\sqrt{10}}{10};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

$\tg \frac{a}{2}$;

$$\tg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a} = \frac{1 + 0,8}{1 — 0,8} = \frac{1,8}{0,2} = \frac{18}{2} = 9;$$ $$\tg \frac{a}{2} = \sqrt{9} = 3;$$

Ответ: $3$.

$\ctg \frac{a}{2}$;

$$\ctg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a} = \frac{1 — 0,8}{1 + 0,8} = \frac{0,2}{1,8} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9};$$ $$\ctg \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Дано:

$$\sin a = \frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Угол $a$ находится во второй координатной четверти, где синус положителен, а косинус — отрицателен.

Найдем $\cos a$

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Отсюда:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Шаг 2: Подставляем известное значение

$$\cos^2 a = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{25}{25} — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Шаг 3: Извлекаем корень с учётом знака

Поскольку $a$ во второй четверти, косинус отрицателен:

$$\cos a = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} = -0{,}8$$

1) Найти $\sin \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула половинного угла для синуса

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $\cos a = -0{,}8$

$$\sin^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — (-0{,}8)}{2} = \frac{1 + 0{,}8}{2} = \frac{1{,}8}{2} = 0{,}9 = \frac{9}{10}$$

Шаг 3: Извлекаем корень

$$\sin \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

Шаг 4: Определяем знак $\sin \frac{a}{2}$

Угол $\frac{a}{2}$ находится в первой четверти, так как

$$\frac{\pi}{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{2}$$

(половина угла из второй четверти лежит в первой).

В первой четверти синус положителен, значит:

$$\sin \frac{a}{2} = + \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\sin \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}}$$

2) Найти $\cos \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула половинного угла для косинуса

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $\cos a = -0{,}8$

$$\cos^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + (-0{,}8)}{2} = \frac{1 — 0{,}8}{2} = \frac{0{,}2}{2} = 0{,}1 = \frac{1}{10}$$

Шаг 3: Извлекаем корень

$$\cos \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{10}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Шаг 4: Определяем знак $\cos \frac{a}{2}$

Угол $\frac{a}{2}$ из предыдущего шага — в первой четверти, где косинус положителен. Значит:

$$\cos \frac{a}{2} = + \frac{\sqrt{10}}{10}$$

Ответ:

$$\boxed{\cos \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}}$$

3) Найти $\tg \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула для тангенса половинного угла

$$\tg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — \cos a}{1 + \cos a}$$

Шаг 2: Подставляем $\cos a = -0{,}8$

$$\tg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 — (-0{,}8)}{1 + (-0{,}8)} = \frac{1 + 0{,}8}{1 — 0{,}8} = \frac{1{,}8}{0{,}2}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь

$$\frac{1{,}8}{0{,}2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 4: Извлекаем корень

$$\tg \frac{a}{2} = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$

Шаг 5: Определяем знак

Угол $\frac{a}{2}$ в первой четверти, где тангенс положителен, значит:

$$\tg \frac{a}{2} = +3$$

Ответ:

$$\boxed{\tg \frac{a}{2} = 3}$$

4) Найти $\ctg \frac{a}{2}$

Шаг 1: Формула для котангенса половинного угла

$$\ctg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + \cos a}{1 — \cos a}$$

Шаг 2: Подставляем $\cos a = -0{,}8$

$$\ctg^2 \frac{a}{2} = \frac{1 + (-0{,}8)}{1 — (-0{,}8)} = \frac{1 — 0{,}8}{1 + 0{,}8} = \frac{0{,}2}{1{,}8}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь

$$\frac{0{,}2}{1{,}8} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$

Шаг 4: Извлекаем корень

$$\ctg \frac{a}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Определяем знак

Угол $\frac{a}{2}$ в первой четверти, где котангенс положителен:

$$\ctg \frac{a}{2} = + \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\ctg \frac{a}{2} = \frac{1}{3}}$$