ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 498 Алимов — Подробные Ответы

Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла (498—499).

1. sin 48°;
2. cos 164°;
3. tg 92°;
4. sin 4пи/3;
5. cos 5пи/3.

Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:

1. $\sin 48^\circ = 2 \sin \frac{48^\circ}{2} \cdot \cos \frac{48^\circ}{2} = 2 \sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ$
2. $\cos 164^\circ = \cos^2 \frac{164^\circ}{2} — \sin^2 \frac{164^\circ}{2} = \cos^2 82^\circ — \sin^2 82^\circ$
3. $\operatorname{tg} 92^\circ = \frac{2 \operatorname{tg} \frac{92^\circ}{2}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{92^\circ}{2}} = \frac{2 \operatorname{tg} 46^\circ}{1 — \operatorname{tg}^2 46^\circ}$
4. $\sin \frac{4\pi}{3} = 2 \sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} \right) \cdot \cos \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \sin \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3}$
5. $\cos \frac{5\pi}{3} = \cos^2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{3} \right) — \sin^2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{3} \right) = \cos^2 \frac{5\pi}{6} — \sin^2 \frac{5\pi}{6}$

Воспользуемся классическими формулами двойного угла:

• Для синуса:

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$

• Для косинуса:

$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta — 1 = 1 — 2 \sin^2 \theta$$

• Для тангенса:

$$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 — \tan^2 \theta}$$

1) Выражение для $\sin 48^\circ$

Шаг 1: Представим угол 48° как удвоение угла 24°:

$$48^\circ = 2 \times 24^\circ$$

Шаг 2: Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 48^\circ = \sin(2 \times 24^\circ) = 2 \sin 24^\circ \cos 24^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{\sin 48^\circ = 2 \sin 24^\circ \cdot \cos 24^\circ}$$

2) Выражение для $\cos 164^\circ$

Шаг 1: Представим угол 164° как удвоение 82°:

$$164^\circ = 2 \times 82^\circ$$

Шаг 2: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 164^\circ = \cos(2 \times 82^\circ) = \cos^2 82^\circ — \sin^2 82^\circ$$

Ответ:

$$\boxed{\cos 164^\circ = \cos^2 82^\circ — \sin^2 82^\circ}$$

3) Выражение для $\tan 92^\circ$

Шаг 1: Представим угол 92° как удвоение 46°:

$$92^\circ = 2 \times 46^\circ$$

Шаг 2: Используем формулу тангенса двойного угла:

$$\tan 92^\circ = \tan(2 \times 46^\circ) = \frac{2 \tan 46^\circ}{1 — \tan^2 46^\circ}$$

Ответ:

$$\boxed{\tan 92^\circ = \frac{2 \tan 46^\circ}{1 — \tan^2 46^\circ}}$$

4) Выражение для $\sin \frac{4\pi}{3}$

Шаг 1: Представим угол $\frac{4\pi}{3}$ как удвоение $\frac{2\pi}{3}$:

$$\frac{4\pi}{3} = 2 \times \frac{2\pi}{3}$$

Шаг 2: Используем формулу синуса двойного угла (для радиан):

$$\sin \frac{4\pi}{3} = \sin\left(2 \times \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \sin \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\sin \frac{4\pi}{3} = 2 \sin \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{2\pi}{3}}$$

5) Выражение для $\cos \frac{5\pi}{3}$

Шаг 1: Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как удвоение $\frac{5\pi}{6}$:

$$\frac{5\pi}{3} = 2 \times \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 2: Используем формулу косинуса двойного угла (для радиан):

$$\cos \frac{5\pi}{3} = \cos\left(2 \times \frac{5\pi}{6}\right) = \cos^2 \frac{5\pi}{6} — \sin^2 \frac{5\pi}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{\cos \frac{5\pi}{3} = \cos^2 \frac{5\pi}{6} — \sin^2 \frac{5\pi}{6}}$$