ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 491 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. cos (а — b) — cos (а + b);
2. cos (пи/4 + а)* cos(пи/4 -a) + 1/2sin2а;
3. cos За + sin a sin 2а;
4. cos 2а — cos a cos За

1.

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) =$$ $$= \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta — (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta) = 2 \sin a \cdot \sin \beta;$$

Ответ: $2 \sin a \cdot \sin \beta$.

2.

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) + \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right) \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right) + \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin a \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin a \right) + \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a) + \frac{1}{2} \sin^2 a =$$ $$= \frac{2}{4} (\cos^2 a — \sin^2 a) + \frac{1}{2} \sin^2 a = \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a + \frac{1}{2} \sin^2 a = \frac{1}{2} \cos^2 a;$$

Ответ: $\frac{1}{2} \cos^2 a$.

3.

$$\cos 3a + \sin a \cdot \sin 2a = \cos(a + 2a) + \sin a \cdot \sin 2a =$$ $$= \cos a \cdot \cos 2a — \sin a \cdot \sin 2a + \sin a \cdot \sin 2a = \cos a \cdot \cos 2a;$$

Ответ: $\cos a \cdot \cos 2a$.

4.

$$\cos 2a — \cos a \cdot \cos 3a =$$ $$= \cos 2a — (\cos a \cdot \cos 3a + \sin a \cdot \sin 3a) + \sin a \cdot \sin 3a =$$ $$= \cos 2a — \cos(3a — a) + \sin a \cdot \sin 3a = \cos 2a — \cos 2a + \sin a \cdot \sin 3a =$$ $$= \sin a \cdot \sin 3a;$$

Ответ: $\sin a \cdot \sin 3a$.

1)

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)$$

Шаг 1: Раскрываем каждое выражение по формуле косинуса разности и суммы:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta$$ $$\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta$$

Шаг 2: Вычитаем:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = (\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta) — (\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta)$$

Шаг 3: Раскрываем скобки и группируем:

$$= \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta — \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta = 2 \sin a \sin \beta$$

Ответ:

$$\boxed{2 \sin a \cdot \sin \beta}$$

2)

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) + \frac{1}{2} \sin^2 a$$

Шаг 1: Раскрываем косинусы суммы и разности по формулам:

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

Поэтому

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \sin a,$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a.$$

Шаг 2: Перемножаем эти выражения:

$$\left( \cos \frac{\pi}{4} \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \sin a \right) \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a \right)$$

Это разность квадратов:

$$= \cos^2 \frac{\pi}{4} \cos^2 a — \sin^2 \frac{\pi}{4} \sin^2 a$$

Шаг 3: Подставляем значения:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

поэтому

$$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cos^2 a — \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \sin^2 a = \frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a.$$

Шаг 4: Добавляем второе слагаемое:

$$\frac{1}{2} \cos^2 a — \frac{1}{2} \sin^2 a + \frac{1}{2} \sin^2 a = \frac{1}{2} \cos^2 a.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2} \cos^2 a}$$

3)

$$\cos 3a + \sin a \cdot \sin 2a$$

Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы:

$$\cos 3a = \cos(a + 2a) = \cos a \cos 2a — \sin a \sin 2a.$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\cos 3a + \sin a \sin 2a = (\cos a \cos 2a — \sin a \sin 2a) + \sin a \sin 2a.$$

Шаг 3: Сокращаем:

$$\cos a \cos 2a — \sin a \sin 2a + \sin a \sin 2a = \cos a \cos 2a.$$

Ответ:

$$\boxed{\cos a \cdot \cos 2a}$$

4)

$$\cos 2a — \cos a \cdot \cos 3a$$

Шаг 1: Используем формулу косинуса разности:

$$\cos(a — b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b,$$

откуда

$$\cos a \cos 3a = \cos(a + 2a) — \sin a \sin 3a = \cos 3a \cos a + \sin a \sin 3a — \sin a \sin 3a.$$

Но лучше раскрыть $\cos a \cos 3a$ как

$$\cos a \cos 3a = \cos(3a — a) — \sin a \sin 3a = \cos 2a — \sin a \sin 3a.$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\cos 2a — \cos a \cos 3a = \cos 2a — (\cos 2a — \sin a \sin 3a) = \sin a \sin 3a.$$

Ответ:

$$\boxed{\sin a \cdot \sin 3a}$$