ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 490 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить tg (a + b), если sin a=4/5, пи/2 < a < пи, и cosb=8/17, 3пи/2 < b < 2пи.

Вычислить $\sin(\alpha + \beta)$, если:

$$\sin \alpha = \frac{4}{5} \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;$$ $$\cos \beta = \frac{8}{17} \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi;$$

Точка, соответствующая повороту на угол $\alpha$, лежит во II четверти:

$$\cos \alpha = -\sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$

Точка, соответствующая повороту на угол $\beta$, лежит в IV четверти:

$$\sin \beta = -\sqrt{1 — \cos^2 \beta} = -\sqrt{1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2} = -\sqrt{\frac{289}{289} — \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17};$$

Значение выражения:

$$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta — \sin \alpha \cdot \sin \beta};$$ $$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right)}{\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} — \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right)} = \frac{\frac{32}{85} + \frac{45}{85}}{-\frac{24}{85} + \frac{60}{85}} = \frac{\frac{77}{85}}{\frac{36}{85}} = \frac{77}{36};$$

Ответ: $2 \frac{5}{36}$.

Дано:

$$\sin \alpha = \frac{4}{5}, \quad \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;$$ $$\cos \beta = \frac{8}{17}, \quad \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi.$$

Нужно найти:

$$\tan(\alpha + \beta).$$

Шаг 1: Определяем четверти и знаки

• Угол $\alpha$ во II четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), где:

  $$\sin \alpha > 0, \quad \cos \alpha < 0.$$

• Угол $\beta$ в IV четверти $\left(\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi\right)$, где:

  $$\sin \beta < 0, \quad \cos \beta > 0.$$

Шаг 2: Находим $\cos \alpha$

По тригонометрическому тождеству:

$$\cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Вторая четверть, значит косинус отрицателен:

$$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}.$$

Шаг 3: Находим $\sin \beta$

Используем основное тождество:

$$\sin^2 \beta = 1 — \cos^2 \beta = 1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}.$$

В IV четверти синус отрицателен:

$$\sin \beta = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}.$$

Шаг 4: Формула для тангенса суммы углов

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}{\cos \alpha \cdot \cos \beta — \sin \alpha \cdot \sin \beta}.$$

Шаг 5: Подставляем значения

Числитель:

$$\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{8}{17} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85}.$$

Знаменатель:

$$\cos \alpha \cdot \cos \beta — \sin \alpha \cdot \sin \beta = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} — \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) = -\frac{24}{85} + \frac{60}{85} = \frac{36}{85}.$$

Шаг 6: Делим числитель на знаменатель

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{77}{85}}{\frac{36}{85}} = \frac{77}{85} \cdot \frac{85}{36} = \frac{77}{36}.$$

Шаг 7: Переводим в смешанное число

$$\frac{77}{36} = 2 + \frac{5}{36} = 2 \frac{5}{36}.$$

Ответ:

$$\boxed{2 \frac{5}{36}}.$$