ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 398 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$, тогда:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n};$$

Разность логарифмов по основанию $a$ двух последовательных членов:

$$d = \log_a b_{n+1} — \log_a b_n = \log_a \frac{b_{n+1}}{b_n} = \log_a q;$$

Таким образом, разность между логарифмами по одному и тому же основанию $a$ двух последовательных членов постоянна и равна $\log_a q$, следовательно они образуют арифметическую прогрессию, что и требовалось доказать.

Условие:

Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$.
Необходимо показать, что последовательность логарифмов её членов по основанию $a$, то есть $\log_a b_n$, образует арифметическую прогрессию.

Шаг 1: Определение геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии:

$$b_{n+1} = q \cdot b_n$$

или:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$$

где:

• $q$ — знаменатель прогрессии
• $b_n$ — $n$-й член
• $b_{n+1}$ — следующий (последовательный) член

Шаг 2: Переходим к логарифмам членов прогрессии

Рассмотрим разность логарифмов по основанию $a$ двух последовательных членов:

$$d = \log_a b_{n+1} — \log_a b_n$$

Шаг 3: Применяем свойство логарифма разности

Из формулы:

$$\log_a M — \log_a N = \log_a \left( \frac{M}{N} \right)$$

следует:

$$d = \log_a \left( \frac{b_{n+1}}{b_n} \right)$$

Шаг 4: Подставим значение дроби

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q \Rightarrow d = \log_a q$$

Шаг 5: Что это значит

Разность между любыми двумя соседними членами последовательности $\log_a b_n$ равна одной и той же величине — $\log_a q$

То есть:

$$\log_a b_{n+1} — \log_a b_n = \log_a b_{n+2} — \log_a b_{n+1} = \ldots = \log_a q = \text{постоянная}$$

Шаг 6: Определение арифметической прогрессии

По определению: если разность между соседними членами постоянна, то такая последовательность — арифметическая прогрессия.

Шаг 7: Вывод

Таким образом:

• $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$
• $(\log_a b_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $\log_a q$

Формулировка вывода:

Разность между логарифмами по одному и тому же основанию $a$ двух последовательных членов геометрической прогрессии постоянна и равна $\log_a q$, следовательно, $\log_a b_n$ образует арифметическую прогрессию.