ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 355 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (355—357).

1. log3 (х + 2) < 3;
2. log8 (4 — 2х) > =2
3. log3 (x + 1) < -2;
4. log1/3 (x- 1) > = -2;
5. log1/5 (4-3x) > = — 1;
6. log2/3(2 — 5x) < -2.

1. $\log_{3}(x + 2) < 3$;
   $\log_{3}(x + 2) < \log_{3} 3^3$;
   $x + 2 < 27$, отсюда $x < 25$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x + 2 > 0$, отсюда $x > -2$;
   Ответ: $-2 < x < 25$.
2. $\log_{8}(4 — 2x) \geq 2$;
   $\log_{8}(4 — 2x) \geq \log_{8} 8^2$;
   $4 — 2x \geq 64$;
   $-2x \geq 60$, отсюда $x \leq -30$;
   Выражение имеет смысл при:
   $4 — 2x > 0$;
   $2x < 4$, отсюда $x < 2$;
   Ответ: $x \leq -30$.
3. $\log_{3}(x + 1) < -2$;
   $\log_{3}(x + 1) < \log_{3} 3^{-2}$;
   $x + 1 < 3^{-2}$;
   $x + 1 < \frac{1}{9}$;
   $x < -1 + \frac{1}{9}$;
   $x < -\frac{8}{9}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x + 1 > 0$, отсюда $x > -1$;
   Ответ: $-1 < x < -\frac{8}{9}$.
4. $\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \geq -2$;
   $\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \geq \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-2}$;
   $x — 1 \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{-2}$;
   $x — 1 \leq 3^2$;
   $x — 1 \leq 9$, отсюда $x \leq 10$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x — 1 > 0$, отсюда $x > 1$;
   Ответ: $1 < x \leq 10$.
5. $\log_{\frac{1}{5}}(4 — 3x) \geq -1$;
   $\log_{\frac{1}{5}}(4 — 3x) \geq \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}$;
   $4 — 3x \leq \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}$;
   $4 — 3x \leq 5$;
   $-3x \leq 1$, отсюда $x \geq -\frac{1}{3}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $4 — 3x > 0$;
   $-3x > -4$, отсюда $x < \frac{4}{3}$;
   Ответ: $-\frac{1}{3} \leq x < \frac{4}{3}$.
6. $\log_{\frac{2}{3}}(2 — 5x) < -2$;
   $\log_{\frac{2}{3}}(2 — 5x) < \log_{\frac{2}{3}} \left( \frac{2}{3} \right)^{-2}$;
   $2 — 5x > \left( \frac{2}{3} \right)^{-2}$;
   $2 — 5x > \frac{9}{4}$;
   $-5x > \frac{9}{4} — 2$;
   $-5x > \frac{1}{4}$;
   $5x < -\frac{1}{4}$;
   $x < -0.05$;
   Выражение имеет смысл при:
   $2 — 5x > 0$;
   $5x < 2$, отсюда $x < 0.4$;
   Ответ: $x < -0.05$.

1) $\log_{3}(x + 2) < 3$

Шаг 1. Неравенство с логарифмом:

$$\log_{3}(x + 2) < 3$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть в логарифм с тем же основанием:

$$3 = \log_{3}(3^3) \Rightarrow \log_{3}(x + 2) < \log_{3}(27)$$

Шаг 3. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, то функция возрастающая. Поэтому знак неравенства сохраняется:

$$x + 2 < 27$$

Шаг 4. Решаем полученное линейное неравенство:

$$x < 27 — 2 = 25$$

Шаг 5. ОДЗ (область допустимых значений):
Логарифм определён только при положительном аргументе:

$$x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$$

Шаг 6. Объединяем ОДЗ и решение:

$$-2 < x < 25$$

Ответ: $\boxed{-2 < x < 25}$

2) $\log_{8}(4 — 2x) \geq 2$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

$$2 = \log_{8}(8^2) = \log_{8}(64)$$ $$\log_{8}(4 — 2x) \geq \log_{8}(64)$$

Шаг 2. Поскольку основание логарифма $8 > 1$, функция возрастающая:

$$4 — 2x \geq 64$$

Шаг 3. Решаем линейное неравенство:

$$-2x \geq 60 \Rightarrow x \leq -30$$

Шаг 4. ОДЗ:

$$4 — 2x > 0 \Rightarrow -2x > -4 \Rightarrow x < 2$$

Шаг 5. Объединяем с учётом ОДЗ:

$$x \leq -30 \quad \text{и} \quad x < 2 \Rightarrow x \leq -30$$

Ответ: $\boxed{x \leq -30}$

3) $\log_{3}(x + 1) < -2$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

$$-2 = \log_{3}(3^{-2}) = \log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)$$ $$\log_{3}(x + 1) < \log_{3}\left(\frac{1}{9}\right)$$

Шаг 2. Основание $3 > 1$ → сохраняем знак неравенства:

$$x + 1 < \frac{1}{9}$$

Шаг 3. Вычитаем 1:

$$x < \frac{1}{9} — 1 = -\frac{8}{9}$$

Шаг 4. ОДЗ:

$$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$$

Шаг 5. Объединяем:

$$-1 < x < -\frac{8}{9}$$

Ответ: $\boxed{-1 < x < -\frac{8}{9}}$

4) $\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \geq -2$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

$$-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left( \left( \frac{1}{3} \right)^{-2} \right) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x — 1) \geq \log_{\frac{1}{3}}(9)$$

Шаг 2. Основание $\frac{1}{3} < 1$, функция убывающая → меняем знак:

$$x — 1 \leq 9 \Rightarrow x \leq 10$$

Шаг 3. ОДЗ:

$$x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$$

Шаг 4. Объединяем:

$$1 < x \leq 10$$

Ответ: $\boxed{1 < x \leq 10}$

5) $\log_{\frac{1}{5}}(4 — 3x) \geq -1$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

$$-1 = \log_{\frac{1}{5}}\left( \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} \right) = \log_{\frac{1}{5}}(5)$$ $$\log_{\frac{1}{5}}(4 — 3x) \geq \log_{\frac{1}{5}}(5)$$

Шаг 2. Основание $\frac{1}{5} < 1$ → функция убывает, меняем знак:

$$4 — 3x \leq 5$$

Шаг 3. Решаем:

$$-3x \leq 1 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}$$

Шаг 4. ОДЗ:

$$4 — 3x > 0 \Rightarrow -3x > -4 \Rightarrow x < \frac{4}{3}$$

Шаг 5. Объединяем:

$$-\frac{1}{3} \leq x < \frac{4}{3}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{1}{3} \leq x < \frac{4}{3}}$

6) $\log_{\frac{2}{3}}(2 — 5x) < -2$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

$$-2 = \log_{\frac{2}{3}}\left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \right) = \log_{\frac{2}{3}}\left( \frac{9}{4} \right)$$ $$\log_{\frac{2}{3}}(2 — 5x) < \log_{\frac{2}{3}}\left( \frac{9}{4} \right)$$

Шаг 2. Основание $\frac{2}{3} < 1$ → функция убывает, меняем знак:

$$2 — 5x > \frac{9}{4}$$

Шаг 3. Решаем:

$$-5x > \frac{9}{4} — 2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x < -\frac{1}{20} = -0.05$$

Шаг 4. ОДЗ:

$$2 — 5x > 0 \Rightarrow -5x > -2 \Rightarrow x < 0.4$$

Шаг 5. Объединяем:

$$x < -0.05 \quad \text{и} \quad x < 0.4 \Rightarrow x < -0.05$$

Ответ: $\boxed{x < -0.05}$