ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 353 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5 log5(х) + loga(х) — 4 log25(х )= а имеет корни.

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет корни:

$$5{\log }_{5}x+{\log }_{a}x-4{\log }_{25}x=a;$$

$$5 \log_5 x + \log_a x — 4 \log_{25} x = a;$$ $$5{\log }_{5}x+\frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}a}-4{\log }_{25}x=a;$$

$$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} — 4 \log_{25} x = a;$$ $$5{\log }_{5}x+\frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}a}-2{\log }_{5}x=a;$$

$$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} — 2 \log_5 x = a;$$ $$3{\log }_{5}x+\frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}a}=a;$$

$$3 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a;$$ $${\log }_{5}x\cdot (3+\frac{1}{{\log }_{5}a})=a;$$

$$\log_5 x \cdot \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a;$$ $${\log }_{5}x=\frac{a}{3+\frac{1}{{\log }_{5}a}};$$

$$\log_5 x = \frac{a}{3 + \frac{1}{\log_5 a}};$$ $${\log }_{5}x=\frac{a\cdot {\log }_{5}a}{3{\log }_5^{2}a+1};$$

$$\log_5 x = \frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1};$$ $$x = 5^{\frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$a > 0 \quad \text{и} \quad a \neq 1;$$

Уравнение имеет корни при:

$$3{\log }_{5}a+1\mathrm{\ne }0;$$

$$3 \log_5 a + 1 \neq 0;$$ $$3{\log }_{5}a\mathrm{\ne }-1;$$

$$3 \log_5 a \neq -1;$$ $${\log }_{5}a\mathrm{\ne }-\frac{1}{3};$$

$$\log_5 a \neq -\frac{1}{3};$$ $$\log_5 a \neq \log_5 5^{-\frac{1}{3}}, \quad \text{отсюда } a \neq 5^{-\frac{1}{3}};$$

Ответ: $a > 0, \, a \neq 1, \, a \neq 5^{-\frac{1}{3}}; \, x = 5^{\frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}}$.

Задание:

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$5 \log_5 x + \log_a x — 4 \log_{25} x = a$$

имеет корни.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Изначально:

$$5 \log_5 x + \log_a x — 4 \log_{25} x = a$$

1.1. Заменим логарифмы на логарифмы по основанию 5

• $\log_a x = \dfrac{\log_5 x}{\log_5 a}$ — по формуле смены основания.
• $\log_{25} x = \dfrac{\log_5 x}{\log_5 25} = \dfrac{\log_5 x}{2}$, т.к. $25 = 5^2 \Rightarrow \log_5 25 = 2$

Подставим:

$$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} — 4 \cdot \frac{\log_5 x}{2} = a$$

Шаг 2: Приведем подобные

• $5 \log_5 x$
• $\frac{\log_5 x}{\log_5 a}$
• $-2 \log_5 x$

Считаем:

$$(5 — 2) \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a \Rightarrow 3 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a$$

Шаг 3: Вынесем $\log_5 x$ за скобки

$$\log_5 x \cdot \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a$$

Шаг 4: Выразим $\log_5 x$

Разделим обе части на скобку:

$$\log_5 x = \frac{a}{3 + \dfrac{1}{\log_5 a}}$$

Шаг 5: Избавимся от дроби в знаменателе

Приведем знаменатель к общему знаменателю:

$$3 + \frac{1}{\log_5 a} = \frac{3 \log_5 a + 1}{\log_5 a}$$

Подставим:

$$\log_5 x = \frac{a}{\frac{3 \log_5 a + 1}{\log_5 a}} = \frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}$$

Шаг 6: Возводим основание логарифма в полученную степень

$$x = 5^{\frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}}$$

Шаг 7: Условия существования выражения

Чтобы выражение имело смысл, нужно:

7.1. ОДЗ логарифмических выражений

• $a > 0$, поскольку логарифм по основанию $a$ определён только при $a > 0$,
• $a \ne 1$, потому что логарифм по основанию 1 не существует.

7.2. Условие: знаменатель не равен нулю

Из выражения:

$$\log_5 x = \frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}$$

Чтобы это имело смысл, знаменатель должен быть не равен 0:

$$3 \log_5^2 a + 1 \ne 0 \Rightarrow \log_5^2 a \ne -\frac{1}{3}$$

Это всегда верно, поскольку квадрат любого действительного числа ≥ 0. Значит, это условие автоматически выполняется.

7.3. Но выражение $3 + \frac{1}{\log_5 a} \ne 0$

Иначе знаменатель предыдущей дроби обнулится:

$$3 + \frac{1}{\log_5 a} \ne 0 \Rightarrow \frac{1}{\log_5 a} \ne -3 \Rightarrow \log_5 a \ne -\frac{1}{3}$$

Запишем:

$$\log_5 a \ne -\frac{1}{3} \Rightarrow a \ne 5^{-1/3}$$

Шаг 8: Итоговые условия

Чтобы выражение имело смысл и уравнение имело хотя бы один корень $x > 0$, необходимо:

• $a > 0$
• $a \ne 1$
• $a \ne 5^{-1/3}$

Шаг 9: Ответ

$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{Уравнение имеет корни при:} \\ &\quad a > 0,\quad a \ne 1,\quad a \ne 5^{-1/3}; \\ &\quad x = 5^{\frac{a \cdot \log_5 a}{3 \log_5^2 a + 1}}. \end{aligned} }$$