ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 351 Алимов — Подробные Ответы

1. lg2 (x + 1)= lg (x + 1) * lg (x — 1) + 2 lg2 (x — 1);
2. 2log5 (4 — x) * log2x (4 — x) = 3 log5 (4 — x) — log5 (2x).

1) Решим уравнение:

$\lg^2(x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2\lg^2(x-1)$

Решение

Воспользуемся определением логарифма, его свойствами и получим:
$\left( \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} \right)^2 — \left( \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} \right) — 2 = 0$

Сделаем замену:
$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} = t$

Получим:
$t^2 — t — 2 = 0$

С помощью Дискриминанта решим уравнение и получим корни:
$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \quad t_2 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$
$t_1 = \frac{1 + 3}{2} \quad t_2 = \frac{1 — 3}{2}$
$t_1 = 2 \quad t_2 = -1$

Вернемся к исходной переменной:
$\frac{\lg(x_1 + 1)}{\lg(x_1 — 1)} = 2 \quad \frac{\lg(x_2 + 1)}{\lg(x_2 — 1)} = -1$

1. Для $t_1 = 2$:
   $\lg(x_1 + 1) = \lg(x_1 — 1)^2$
   $x_1 + 1 = (x_1 — 1)^2$
   $x_1 + 1 = x_1^2 — 2x_1 + 1$
   $x_1^2 — 3x_1 = 0$
   $x_1(x_1 — 3) = 0$
   $x_{1,1} = 3 \quad x_{2,1} = 0 \quad \text{(не подходит по условию)}$
2. Для $t_2 = -1$:
   $\frac{\lg(x_2 + 1)}{\lg(x_2 — 1)} = -1$
   $\lg(x_2 + 1) = \lg \frac{1}{x_2 — 1}$
   $x_2 + 1 = \frac{1}{x_2 — 1}$
   $(x_2 + 1)(x_2 — 1) = 1$
   $x_2^2 — 1 = 1$
   $x_2^2 = 2$
   $x_{2,1} = \sqrt{2} \quad x_{2,2} = -\sqrt{2} \quad \text{(не подходит по условию)}$

Ответ: $3; \sqrt{2}$

2) Решим уравнение:

$2\log_5(4-x) \cdot \log_{2x}(4-x) = 3\log_5(4-x) — \log_5 2x$

Решение

Воспользуемся определением логарифма, его свойствами и получим:
$2\log_5(4-x) \cdot \frac{\log_5(4-x)}{\log_5 2x} = 3\log_5(4-x) — \log_5 2x$
$2 \left( \frac{\log_5(4-x)}{\log_5 2x} \right)^2 — 3 \frac{\log_5(4-x)}{\log_5 2x} + 1 = 0$

Сделаем замену:
$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5 2x} = t$

Получим:
$2t^2 — 3t + 1 = 0$

С помощью Дискриминанта решим уравнение и получим корни:
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1$
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} \quad t_2 = \frac{3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 2}$
$t_1 = \frac{3 + 1}{4} \quad t_2 = \frac{3 — 1}{4}$
$t_1 = 1 \quad t_2 = \frac{1}{2}$

Вернемся к исходной переменной:
$\frac{\log_5(4-x_1)}{\log_5 2x_1} = 1 \quad \frac{\log_5(4-x_2)}{\log_5 2x_2} = \frac{1}{2}$

1. Для $t_1 = 1$:
   $\log_5(4-x_1) = \log_5 2x_1$
   $4 — x_1 = 2x_1$
   $3x_1 = 4$
   $x_1 = \frac{4}{3}$
2. Для $t_2 = \frac{1}{2}$:
   $\log_5(4-x_2) = \log_5 \sqrt{2x_2}$
   $4 — x_2 = \sqrt{2x_2}$
   $(4 — x_2)^2 = 2x_2$
   $16 — 8x_2 + x_2^2 = 2x_2$
   $x_2^2 — 10x_2 + 16 = 0$

С помощью Дискриминанта решим уравнение и получим корни:
$D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 36$
$x_1 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \quad x = \frac{10 — \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$
$x_1 = \frac{10 + 6}{2} \quad x_2 = \frac{10 — 6}{2}$
$x_1 = 8 \quad \text{(не подходит)} \quad x_2 = 2$

Ответ: $\frac{4}{3}; 2$$\boxed{3; \sqrt{2}; \frac{4}{3}; 2}$

1) Решим уравнение:

$$\lg^2(x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2\lg^2(x-1)$$

Шаг 1: Обозначим переменные

У нас в уравнении участвуют логарифмы по основанию 10 (десятичные), обозначим:

• $\lg(x+1)$
• $\lg(x-1)$

Запишем исходное уравнение:

$$\lg^2(x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2\lg^2(x-1)$$

Шаг 2: Разделим обе части уравнения на $\lg^2(x-1)$ (если допустимо)

Для этого определим, что $\lg(x-1) \ne 0$, то есть:

$$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \\ x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 \\ \text{Область определения (ОДЗ)}: x > 1$$

На ОДЗ $\lg(x-1) \ne 0$ допустимо.

Теперь разделим обе части уравнения на $\lg^2(x-1)$:

$$\frac{\lg^2(x+1)}{\lg^2(x-1)} = \frac{\lg(x+1) \cdot \lg(x-1)}{\lg^2(x-1)} + \frac{2\lg^2(x-1)}{\lg^2(x-1)}$$ $$\left( \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} \right)^2 = \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} + 2$$

Шаг 3: Введем замену переменной

Пусть:

$$t = \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}$$

Тогда уравнение превращается в:

$$t^2 = t + 2$$ $$t^2 — t — 2 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$t^2 — t — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \\ t_2 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$

Шаг 5: Возвращаемся к переменной $x$

Для $t = 2$:

$$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} = 2 \Rightarrow \lg(x+1) = 2\lg(x-1) \Rightarrow \lg(x+1) = \lg((x-1)^2)$$

Убираем логарифмы:

$$x+1 = (x-1)^2 \Rightarrow x+1 = x^2 — 2x + 1 \Rightarrow x^2 — 3x = 0 \Rightarrow x(x — 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3$$

Проверим оба корня на ОДЗ:

• $x = 0$: $\lg(-1)$ — нельзя, выколоть.
• $x = 3$: $\lg(4)$, $\lg(2)$ — всё определено.

Подходит: $x = 3$

Для $t = -1$:

$$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} = -1 \Rightarrow \lg(x+1) = -\lg(x-1) = \lg\left( \frac{1}{x-1} \right) \Rightarrow x+1 = \frac{1}{x-1}$$

Решим:

$$(x+1)(x-1) = 1 \Rightarrow x^2 — 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$

Проверим на ОДЗ:

• $x = -\sqrt{2} \approx -1.41$: $x+1 < 0$ — нельзя.
• $x = \sqrt{2} \approx 1.41$: ОК.

Подходит: $x = \sqrt{2}$

Ответ к первому уравнению:

$$\boxed{3; \sqrt{2}}$$

2) Решим уравнение:

$$2\log_5(4 — x) \cdot \log_{2x}(4 — x) = 3\log_5(4 — x) — \log_5 2x$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

Используем формулу смены основания:

$$\log_{2x}(4 — x) = \frac{\log_5(4 — x)}{\log_5(2x)}$$

Подставим:

$$2 \cdot \log_5(4 — x) \cdot \frac{\log_5(4 — x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 — x) — \log_5(2x)$$

Слева:

$$\frac{2\log_5^2(4 — x)}{\log_5(2x)}$$

Теперь уравнение:

$$\frac{2\log_5^2(4 — x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 — x) — \log_5(2x)$$

Шаг 2: Введем замену переменной

Пусть:

$$t = \frac{\log_5(4 — x)}{\log_5(2x)}$$

Тогда:

$$\frac{2\log_5^2(4 — x)}{\log_5(2x)} = 2t \cdot \log_5(4 — x)$$

Правую часть тоже перепишем через $t$:

$$3 \log_5(4 — x) — \log_5(2x) = 3t \cdot \log_5(2x) — \log_5(2x) = \log_5(2x) \cdot (3t — 1)$$

Тогда исходное уравнение:

$$2t \cdot \log_5(4 — x) = \log_5(2x)(3t — 1)$$

Разделим обе части на $\log_5(2x)$ (допустимо, если $x > 0$):

$$2t \cdot \frac{\log_5(4 — x)}{\log_5(2x)} = 3t — 1 \Rightarrow 2t^2 = 3t — 1 \Rightarrow 2t^2 — 3t + 1 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$2t^2 — 3t + 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \\ t_2 = \frac{3 — \sqrt{1}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Вернёмся к переменной $x$

Для $t = 1$:

$$\frac{\log_5(4 — x)}{\log_5(2x)} = 1 \Rightarrow \log_5(4 — x) = \log_5(2x) \Rightarrow 4 — x = 2x \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$$

Для $t = \frac{1}{2}$:

$$\log_5(4 — x) = \frac{1}{2} \log_5(2x) = \log_5\sqrt{2x} \Rightarrow 4 — x = \sqrt{2x}$$

Решим:

$$(4 — x)^2 = 2x \Rightarrow 16 — 8x + x^2 = 2x \Rightarrow x^2 — 10x + 16 = 0$$

Найдём корни:

$$D = 100 — 64 = 36 \Rightarrow x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 8 \quad \text{или} \quad x = 2$$

Проверка:

• $x = 8$: $4 — x = -4$ — нельзя, логарифм отрицательного
• $x = 2$: $4 — x = 2 > 0$, $2x = 4 > 0$ — всё ок

Ответ ко второму уравнению:

$$\boxed{\frac{4}{3}; 2}$$$$\boxed{3; \sqrt{2}; \frac{4}{3}; 2}$$