ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 348 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (348—352).

1. log2(х) — 2 logx(2) = -1;
2. log2(x) + logx(2) = 2,5;
3. log3(x) + 2logx(3) = 3;
4. log3(x) — 6 logx(3) = 1.

$\log_2 x — 2 \log_x 2 = -1$;

$\log_2 x — 2 \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = -1$;

$\log_2 x — \frac{2}{\log_2 x} + 1 = 0 \quad | \cdot \log_2 x$;

$\log_2^2 x + \log_2 x — 2 = 0$;

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$y^2 + y — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;

Первое значение:

$\log_2 x = -2$;

$\log_2 x = \log_2 2^{-2}$;

$x = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$;

Второе значение:

$\log_2 x = 1$;

$\log_2 x = \log_2 2$, отсюда $x = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x_1 = 0.25$; $x_2 = 2$.

$\log_2 x + \log_x 2 = 2.5$;

$\log_2 x + \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = 2.5$;

$\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} — 2.5 = 0 \quad | \cdot 2 \log_2 x$;

$2 \log_2^2 x — 5 \log_2 x + 2 = 0$;

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$2y^2 — 5y + 2 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;

$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Первое значение:

$\log_2 x = \frac{1}{2}$;

$\log_2 x = \log_2 2^{\frac{1}{2}}$;

$x = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$;

Второе значение:

$\log_2 x = 2$;

$\log_2 x = \log_2 2^2$;

$x = 2^2 = 4$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x_1 = \sqrt{2}$; $x_2 = 4$.

$\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3$;

$\log_3 x + 2 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = 3$;

$\log_3 x + \frac{2}{\log_3 x} — 3 = 0 \quad | \cdot \log_3 x$;

$\log_3^2 x — 3 \log_3 x + 2 = 0$;

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$y^2 — 3y + 2 = 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$;

Первое значение:

$\log_3 x = 1$;

$\log_3 x = \log_3 3$, отсюда $x = 3$;

Второе значение:

$\log_3 x = 2$;

$\log_3 x = \log_3 3^2$;

$x = 3^2 = 9$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = 9$.

$\log_3 x — 6 \log_x 3 = 1$;

$\log_3 x — 6 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = 1$;

$\log_3 x — \frac{6}{\log_3 x} — 1 = 0 \quad | \cdot \log_3 x$;

$\log_3^2 x — \log_3 x — 6 = 0$;

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$y^2 — y — 6 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;

Первое значение:

$\log_3 x = -2$;

$\log_3 x = \log_3 3^{-2}$;

$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$;

Второе значение:

$\log_3 x = 3$;

$\log_3 x = \log_3 3^3$;

$x = 3^3 = 27$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x_1 = \frac{1}{9}$; $x_2 = 27$.

1) Решить уравнение:

$$\log_2 x — 2 \log_x 2 = -1$$

Шаг 1: Преобразуем логарифм по основанию $x$

Используем формулу смены основания:

$$\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x}$$

Поскольку $\log_2 2 = 1$, то:

$$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$\log_2 x — 2 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = -1$$

Шаг 2: Умножим обе части уравнения на $\log_2 x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\log_2 x \cdot \log_2 x — 2 = -\log_2 x$$

или:

$$(\log_2 x)^2 + \log_2 x — 2 = 0$$

Шаг 3: Заменим переменную

Пусть:

$$y = \log_2 x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 5: Вернёмся к переменной $x$

1. $\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.25$
2. $\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$

Шаг 6: Область допустимых значений (ОДЗ)

У логарифма:

• основание и аргумент должны быть положительными;
• основание логарифма $\neq 1$

В данном уравнении:

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$$x_1 = 0.25; \quad x_2 = 2$$

2) Решить уравнение:

$$\log_2 x + \log_x 2 = 2.5$$

Шаг 1: Используем формулу смены основания:

$$\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x} = \frac{1}{\log_2 x}$$

Подставим:

$$\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} = 2.5$$

Шаг 2: Приведём всё к одному уравнению

$$\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} — 2.5 = 0$$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на $\log_2 x$:

$$\log_2 x \cdot \left( \log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} — 2.5 \right) = 0 \Rightarrow (\log_2 x)^2 + 1 — 2.5 \log_2 x = 0$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$2(\log_2 x)^2 — 5\log_2 x + 2 = 0$$

Шаг 3: Обозначим $y = \log_2 x$, решим уравнение

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 4: Возвращаемся к $x$

1. $\log_2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$
2. $\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$

Шаг 5: Проверка ОДЗ

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Обе подходят.

Ответ:

$$x_1 = \sqrt{2}; \quad x_2 = 4$$

3) Решить уравнение:

$$\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3$$

Шаг 1: Замена логарифма

$$\log_x 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 x} = \frac{1}{\log_3 x}$$

Подставим:

$$\log_3 x + 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 3 \Rightarrow \log_3 x + \frac{2}{\log_3 x} — 3 = 0$$

Умножим обе части на $\log_3 x$:

$$(\log_3 x)^2 — 3\log_3 x + 2 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть:

$$y = \log_3 x \Rightarrow y^2 — 3y + 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Шаг 3: Вернёмся к $x$

1. $\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3$
2. $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$

Шаг 4: Проверка ОДЗ

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Подходят оба.

Ответ:

$$x_1 = 3; \quad x_2 = 9$$

4) Решить уравнение:

$$\log_3 x — 6 \log_x 3 = 1$$

Шаг 1: Смена основания

$$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x} \Rightarrow \log_3 x — \frac{6}{\log_3 x} = 1$$

Приведём к единой форме:

$$\log_3 x — \frac{6}{\log_3 x} — 1 = 0$$

Умножим обе части на $\log_3 x$:

$$(\log_3 x)^2 — \log_3 x — 6 = 0$$

Шаг 2: Замена переменной

Пусть $y = \log_3 x$

$$y^2 — y — 6 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2; \quad y_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Шаг 3: Возврат к $x$

1. $\log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
2. $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$

Шаг 4: Проверка ОДЗ

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Оба значения удовлетворяют.

Ответ:

$$x_1 = \frac{1}{9}; \quad x_2 = 27$$