ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 342 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

1) система

lgx-lgy=2,

x-10y-900;

2) система

log3(x) + log3(y) =2,

x2y — 2y+9=0.

1. $$\{\begin{array}{l}\lg x-\lg y=2,\\ x-10y=900;\end{array}$$

Первое уравнение:

$$\lg x-\lg y=2;$$

$$\lg \frac{x}{y}=\lg {10}^2;$$

$$\frac{x}{y}={10}^2;$$

$$\frac{x}{y}=100,\text{отсюда }x=100y;$$

Второе уравнение:

$$x-10y=900;$$

$$100y-10y=900;$$

$$90y=900,\text{отсюда }y=10;$$

$$x=100\cdot 10=1000;$$

Ответ: $(1000;10)$.

2.$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2,\\ x^{2}y-2y+9=0;\end{array}$$

Первое уравнение:

$${\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2;$$

$${\log }_3(xy)={\log }_3{3}^2;$$

$$xy=3^2;$$

Решение

Воспользуемся определением логарифма, его свойствами и получим систему:

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}xy=2\\ x^{2}y-2y+9=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}xy={\log }_3{3}^2\\ x^{2}y-2y+9=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}xy=9\\ x^{2}y-2y+9=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{y}\\ \frac{81}{y}-2y+9=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{y}\\ 2y^2-9y-81=0\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}y=9\\ x=1\end{array}$$

Ответ: $(1;9)$.

Задача 1

$$\{\begin{array}{l}\lg x-\lg y=2,\\ x-10y=900;\end{array}$$

Решение первого уравнения

Уравнение:

$$\lg x-\lg y=2$$

Шаг 1. Применим логарифмическое свойство:

$$\lg x-\lg y=\lg \left(\frac{x}{y}\right)$$

Получим:

$$\lg \left(\frac{x}{y}\right)=2$$

Шаг 2. Переведем логарифмическое уравнение в показательную форму:

$$\frac{x}{y}={10}^2=100$$

Шаг 3. Выразим $x$ через $y$:

$$x=100y$$

Решение второго уравнения

Уравнение:

$$x-10y=900$$

Шаг 4. Подставим $x=100y$ в это уравнение:

$$100y-10y=900$$

Шаг 5. Упростим:

$$90y=900$$

Шаг 6. Разделим обе части на 90:

$$y=\frac{900}{90}=10$$

Шаг 7. Найдем $x$:

$$x=100\cdot 10=1000$$

Ответ:

$$(1000;10)$$

Задача 2

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2,\\ x^{2}y-2y+9=0;\end{array}$$

Решение первого уравнения

Уравнение:

$${\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2$$

Шаг 1. Применим логарифмическое свойство:

$${\log }_{3}x+{\log }_{3}y={\log }_3(xy)$$

Получим:

$${\log }_3(xy)=2$$

Шаг 2. Переведем логарифмическое уравнение в показательную форму:

$$xy=3^2=9$$

Подстановка во второе уравнение

Вторая часть системы:

$$x^{2}y-2y+9=0$$

Шаг 3. Из уравнения $xy=9$ выразим $x=\frac{9}{y}$

Шаг 4. Найдем $x^2$:

$$x=\frac{9}{y}\Rightarrow x^2={\left(\frac{9}{y}\right)}^2=\frac{81}{y^2}$$

Шаг 5. Подставим $x^2$ и $x$ в уравнение:

$$x^{2}y-2y+9=0$$

Подставим:

$$\left(\frac{81}{y^2}\right)\cdot y-2y+9=0$$

Шаг 6. Упростим:

$$\frac{81y}{y^2}-2y+9=0\Rightarrow \frac{81}{y}-2y+9=0$$

Шаг 7. Умножим всё уравнение на $y$, чтобы избавиться от дроби:

$$81-2y^2+9y=0$$

Приведем к стандартному виду:

$$-2y^2+9y+81=0$$

Шаг 8. Домножим обе части на -1 (удобнее работать с положительным коэффициентом при $y^2$):

$$2y^2-9y-81=0$$

Решение квадратного уравнения

$$2y^2-9y-81=0$$

Шаг 9. Найдем дискриминант:

$$D=(-9{)}^2-4\cdot 2\cdot (-81)=81+648=729$$

Шаг 10. Найдём корни:

$$y=\frac{-(-9)\pm \sqrt{729}}{2\cdot 2}=\frac{9\pm 27}{4}$$$$y_1=\frac{9+27}{4}=\frac{36}{4}=9$$$$y_2=\frac{9-27}{4}=\frac{-18}{4}=-4.5$$

Проверка корней

$$x=\frac{9}{y}$$

Для $y=9$:

$$x=\frac{9}{9}=1\Rightarrow {\log }_{3}x={\log }_{3}1=0,{\log }_{3}y={\log }_{3}9=2\Rightarrow {\log }_{3}x+{\log }_{3}y=2$$

Для $y=-4.5$:

$$x=\frac{9}{-4.5}=-2\Rightarrow {\log }_3(-2)\text{не существует }$$

Ответ:

$$(1;9)$$