ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 338 Алимов — Подробные Ответы

1. lg (x — 1) — lg (2x — 11) = lg 2;
2. lg (3x — 1) — lg (x + 5) — lg 5;
3. log3 (x3 — x) — log3(x) = log3(3).

$\mathrm{1.\; lg}(x-1)-\lg (2x-11)=\lg 2$;

$\lg \frac{x-1}{2x-11}=\lg 2;$
$\frac{x-1}{2x-11}=2;$
$x-1=2(2x-11);$
$x-1=4x-22;$
$-3x=-21,\text{отсюда }x=7;$

Выражение имеет смысл при:
$x-1>0,\text{отсюда }x>1;$
$2x-11>0,\text{отсюда }x>5.5;$

Ответ: $x=7$.

$\mathrm{2.\; lg}(3x-1)-\lg (x+5)=\lg 5$;

$\lg \frac{3x-1}{x+5}=\lg 5;$
$\frac{3x-1}{x+5}=5;$
$3x-1=5(x+5);$
$3x-1=5x+25;$
$-2x=26,\text{отсюда }x=-13;$

Выражение имеет смысл при:
$3x-1>0,\text{отсюда }x>\frac{1}{3};$
$x+5>0,\text{отсюда }x>-5;$

Ответ: нет решений.

${\mathrm{3.\; log}}_3(x^3-x)-{\log }_{3}x={\log }_{3}3$;

${\log }_3\frac{x^3-x}{x}={\log }_{3}3;$
$\frac{x^3-x}{x}=3;$
$x^3-x=3x;$
$x^3-4x=0;$
$x(x^2-4)=0;$
$(x+2)\cdot x\cdot (x-2)=0;$
$x_1=-2,x_2=0,x_3=2;$

Выражение имеет смысл при:
$x^3-x>0;$
$x(x^2-1)>0;$
$(x+1)\cdot x\cdot (x-1)>0;$
$-1<x<0\text{ и }x>1;$

Ответ: $x=2$.

1) $\lg (x-1)-\lg (2x-11)=\lg 2$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Для определения логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

• $x-1>0\Rightarrow x>1$
• $2x-11>0\Rightarrow x>\frac{11}{2}=5.5$

Итак, ОДЗ:

$$\boxed{{\displaystyle x>5.5}}$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение с помощью свойств логарифмов

$$\lg (x-1)-\lg (2x-11)=\lg 2\Rightarrow \lg \left(\frac{x-1}{2x-11}\right)=\lg 2$$

Так как логарифмы равны:

$$\frac{x-1}{2x-11}=2$$

Шаг 3: Решим рациональное уравнение

$$x-1=2(2x-11)\Rightarrow x-1=4x-22\Rightarrow -3x=-21\Rightarrow x=7$$

Шаг 4: Проверка на ОДЗ

Найденное значение: $x=7$

Проверим:

• $x=7>5.5$ — удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x=7}}$

2) $\lg (3x-1)-\lg (x+5)=\lg 5$

Шаг 1: ОДЗ

• $3x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{3}$
• $x+5>0\Rightarrow x>-5$

ОДЗ — пересечение условий:

$$\boxed{{\displaystyle x>\frac{1}{3}}}$$

Шаг 2: Используем свойства логарифмов

$$\lg (3x-1)-\lg (x+5)=\lg \left(\frac{3x-1}{x+5}\right)\Rightarrow \lg \left(\frac{3x-1}{x+5}\right)=\lg 5$$

Равенство логарифмов даёт:

$$\frac{3x-1}{x+5}=5$$

Шаг 3: Решаем уравнение

$$3x-1=5(x+5)\Rightarrow 3x-1=5x+25\Rightarrow -2x=26\Rightarrow x=-13$$

Шаг 4: Проверка на ОДЗ

Проверим найденное значение $x=-13$:

• $-13<\frac{1}{3}$ — не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: нет решений

3) ${\log }_3(x^3-x)-{\log }_{3}x={\log }_{3}3$

Шаг 1: ОДЗ

Все выражения под логарифмами должны быть положительными:

• $x>0$
• $x^3-x>0$

Разберём второе неравенство:

$$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$

Исследуем знак произведения:

• Знаки множителей:
  • $x+1$ меняет знак в $-1$
  • $x$ — в 0
  • $x-1$ — в 1

Рассмотрим интервалы (метод интервалов):

Удовлетворяют:

• $-1<x<0$
• $x>1$

Но по условию $x>0$ (из ${\log }_{3}x$), значит:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (1,\mathrm{\infty })}}$$

Шаг 2: Используем свойства логарифмов

$${\log }_3\left(\frac{x^3-x}{x}\right)={\log }_{3}3\Rightarrow \frac{x^3-x}{x}=3$$

Шаг 3: Упростим дробь

$$\frac{x^3-x}{x}=\frac{x(x^2-1)}{x}=x^2-1(x\mathrm{\ne }0)$$

Решим:

$$x^2-1=3\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$$

Шаг 4: Проверка ОДЗ

• $x=2$ — входит в $(1,\mathrm{\infty })$
• $x=-2$ — не входит (не положительный)

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x=2}}$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{{\displaystyle x=7}}$
2. $\boxed{{\displaystyle \text{нет решений}}}$
3. $\boxed{{\displaystyle x=2}}$