ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 336 Алимов — Подробные Ответы

Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения:

1. х — 3 = 0 и х2 — 5х + 6 = 0;
2. |х| = 5 и корень x2 — 5;
3. (x2-3x+2)/(x-1) = 0 и x2-3x+2=0;
4. log8(х) + log8(х — 2) = 1 и log8 (х (х — 2)) = 1.

Следствием является то уравнение, которое содержит все корни второго уравнения;

$x — 3 = 0$ и $x^2 — 5x + 6 = 0$;

Решим первое уравнение:
$x — 3 = 0, \text{отсюда } x = 3;$

Решим второе уравнение:
$x^2 — 5x + 6 = 0;$
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$

Ответ: второе.

$|x| = 5$ и $\sqrt{x^2} = 5$;

Преобразуем первое уравнение:
$\sqrt{x^2} = 5;$
$|x| = 5;$

Ответ: каждое из них.

3. $\frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0$ и $x^2 — 3x + 2 = 0$;

Решим второе уравнение:
$x^2 — 3x + 2 = 0;$
$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \text{ и } x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$

Решим первое уравнение:
$\frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0;$
$\frac{(x — 1)(x — 2)}{x — 1} = 0;$
$x — 2 = 0, \text{отсюда } x = 2;$

Ответ: второе.

$\log_8 x + \log_8 (x — 2) = 1$ и $\log_8 (x(x — 2)) = 1$;

Решим второе уравнение:
$\log_8 (x(x — 2)) = 1;$
$\log_8 (x^2 — 2x) = \log_8 8;$
$x^2 — 2x = 8;$
$x^2 — 2x — 8 > 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$

Решим первое уравнение:
$\log_8 x + \log_8 (x — 2) = 1;$
$\log_8 (x(x — 2)) = 1;$
$x_1 = -2 \text{ и } x_2 = 4;$

Выражение имеет смысл при:
$x — 2 > 0, \text{отсюда } x > 2, \text{значит } x = 4;$

Ответ: второе.

Следствием является то уравнение, которое содержит все корни второго уравнения.

1) $x — 3 = 0$ и $x^2 — 5x + 6 = 0$

Шаг 1. Решим первое уравнение:

Уравнение:

$$x — 3 = 0$$

Переносим 3 в правую часть:

$$x = 3$$

Корень: $x = 3$

Шаг 2. Решим второе уравнение:

Уравнение:

$$x^2 — 5x + 6 = 0$$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -5$
• $c = 6$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных различных корня:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим числа:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Корни второго уравнения: $x = 2$ и $x = 3$

Шаг 3. Сравнение:

Первое уравнение даёт один корень — $x = 3$
Второе уравнение даёт два корня — $x = 2$ и $x = 3$

Только второе уравнение содержит все корни второго уравнения.

Ответ: второе

2) $|x| = 5$ и $\sqrt{x^2} = 5$

Шаг 1. Рассмотрим первое уравнение:

$$|x| = 5$$

По определению модуля:

$$x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5$$

Корни: $x = \pm 5$

Шаг 2. Рассмотрим второе уравнение:

$$\sqrt{x^2} = 5$$

Поскольку подкоренное выражение $x^2 \geq 0$, то

$$\sqrt{x^2} = |x|$$

Значит:

$$|x| = 5 \Rightarrow x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5$$

Корни те же: $x = \pm 5$

Шаг 3. Сравнение:

Оба уравнения дают одинаковое множество решений: $x = \pm 5$

Ответ: каждое из них

3) $\frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0$ и $x^2 — 3x + 2 = 0$

Шаг 1. Решим второе уравнение:

$$x^2 — 3x + 2 = 0$$

Это квадратное уравнение с:

• $a = 1$
• $b = -3$
• $c = 2$

Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Корни второго уравнения: $x = 1$ и $x = 2$

Шаг 2. Решим первое уравнение:

$$\frac{x^2 — 3x + 2}{x — 1} = 0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2 — 3x + 2 = (x — 1)(x — 2)$$

Подставим:

$$\frac{(x — 1)(x — 2)}{x — 1} = 0$$

Сократим:

$$x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

НО!
При $x = 1$ знаменатель $x — 1 = 0 \Rightarrow$ выражение не определено.
Значит, $x = 1$ — не входит в ОДЗ.

Корень у первого уравнения: $x = 2$

Шаг 3. Сравнение:

Второе уравнение даёт: $x = 1$ и $x = 2$
Первое уравнение даёт только $x = 2$, так как при $x = 1$ деление на ноль.

Значит, второе уравнение содержит все корни, в отличие от первого.

Ответ: второе

4) $\log_8 x + \log_8 (x — 2) = 1$ и $\log_8 (x(x — 2)) = 1$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение:

Свойство логарифмов:

$$\log_a A + \log_a B = \log_a (AB)$$ $$\log_8 x + \log_8 (x — 2) = \log_8(x(x — 2))$$

Значит, первое уравнение:

$$\log_8(x(x — 2)) = 1$$

Таким образом, оба уравнения равносильны.

Шаг 2. Решим уравнение:

$$\log_8(x(x — 2)) = 1$$

Переходим к показательной форме:

$$x(x — 2) = 8^1 = 8$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 2x = 8$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 8 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Шаг 3. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

Логарифм определён только при положительных аргументах:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$$

Из двух корней $-2$ и $4$, только $x = 4$ удовлетворяет условию.

Шаг 4. Сравнение:

Оба уравнения сводятся к одному и тому же.
Оба уравнения имеют тот же единственный допустимый корень: $x = 4$

Но первое уравнение дано в форме, где ОДЗ явно проверяется по каждому логарифму, а не только по итоговому выражению.

Поэтому второе уравнение может быть следствием первого (оно получено преобразованием первого, но требует дополнительной проверки ОДЗ).

Ответ: второе

Итоговые ответы:

1. второе
2. каждое из них
3. второе
4. второе