ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 335 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. у = log2|3 — х| — log2|х3 — 8|;
2. y=log0,3 ( корень (x+1)) + log0,4 (1-8×3).

Найти область определения функции:

1) $y = \log_2 |3 — x| — \log_2 |x^3 — 8|$;

Выражение имеет смысл при:

$$\mathrm{\mid }3-x\mathrm{\mid }>0;$$

$$|3 — x| > 0;$$ $$3 — x \neq 0, \text{отсюда } x \neq 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\mathrm{\mid }{x}^3-8\mathrm{\mid }>0;$$

$$|x^3 — 8| > 0;$$ $$x^3-8\mathrm{\ne }0;$$

$$x^3 — 8 \neq 0;$$ $$x^3 \neq 8, \text{отсюда } x \neq 2;$$

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$$

2) $y = \log_{0.3} \sqrt{x + 1} + \log_{0.4} (1 — 8x^3)$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sqrt{x+1}>0;$$

$$\sqrt{x + 1} > 0;$$ $$x + 1 > 0, \text{отсюда } x > -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1-8x^3\ge 0;$$

$$1 — 8x^3 \geq 0;$$ $$8x^3<1;$$

$$8x^3 < 1;$$ $$x^3 < \frac{1}{8}, \text{отсюда } x < \frac{1}{2};$$

Ответ:

$$D(x) = (-1; 0.5)$$

Найти область определения функции:

1) $y = \log_2 |3 — x| — \log_2 |x^3 — 8|$

Общий принцип:

Чтобы логарифмы существовали, необходимо, чтобы подлогарифмическое выражение было строго положительным:

$$\log_a u \text{ существует, если } u > 0 \text{ и } a > 0, a \ne 1$$

В этом примере:

• Основание $a = 2$: корректно (т.к. $a > 0$, $a \ne 1$)
• Нужно найти, когда оба подлогарифмических выражения положительны:

  $$|3 — x| > 0 \quad \text{и} \quad |x^3 — 8| > 0$$

Условие 1: $\log_2 |3 — x|$

$$|3 — x| > 0 \Rightarrow 3 — x \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$$

Исключаем точку $x = 3$

Условие 2: $\log_2 |x^3 — 8|$

$$|x^3 — 8| > 0 \Rightarrow x^3 — 8 \ne 0 \Rightarrow x^3 \ne 8 \Rightarrow x \ne 2$$

Исключаем точку $x = 2$

Объединяем условия:

• Функция определена при всех $x$, кроме:

  $$x = 2 \quad \text{и} \quad x = 3$$

• Нет других ограничений: логарифмы допустимы при положительном подлогарифме, а модули в обоих случаях строго положительные вне этих точек.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$$

2) $y = \log_{0.3} \sqrt{x + 1} + \log_{0.4} (1 — 8x^3)$

Общий принцип:

Для логарифма:

• Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным:

  $$u > 0$$

• Основание логарифма должно быть:

  $$0 < a \ne 1$$

В данной задаче:

• $\log_{0.3}$ и $\log_{0.4}$ — корректные логарифмы (основания между 0 и 1)
• Значит, требуется:

  $$\sqrt{x + 1} > 0, \quad \text{и} \quad 1 — 8x^3 > 0$$

Условие 1: $\sqrt{x + 1} > 0$

• Корень существует при $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$
• Но мы берём $\sqrt{x + 1} > 0$, а не $\geq 0$, потому что логарифм от 0 не существует!

$$\Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$$

Условие 2: $1 — 8x^3 > 0$

$$1 > 8x^3 \Rightarrow x^3 < \frac{1}{8} \Rightarrow x < \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$

Совмещение условий:

• $x > -1$
• $x < \frac{1}{2}$

Пересечение интервалов:

$$x \in (-1; 0.5)$$

Ответ:

$$D(x) = (-1; 0.5)$$