ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 329 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция у = log2 (x2 — 1) возрастает на промежутке (1; +бесконечность).

Доказать, что функция $y = \log_{2}(x^2 — 1)$ возрастает на луче $(1; +\infty)$.

Область определения функции:
$x^2 — 1 > 0$;
$(x + 1)(x — 1) > 0$;
$x < -1$ и $x > 1$;

Функция $y = x^2 — 1$ возрастает на интервале $(1; +\infty)$;

Основание логарифма больше единицы и его аргумент возрастает при $x > 1$, следовательно функция $y = \log_{2}(x^2 — 1)$ возрастает на интервале $(1; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Цель: доказать, что функция

$$y = \log_{2}(x^2 — 1)$$

возрастает на луче $(1; +\infty)$. Уровень детализации — 10 из 10.

Шаг 1. Найдём область определения функции

Функция логарифма определена только тогда, когда аргумент положительный, т.е.

$$x^2 — 1 > 0$$

Решаем неравенство:

$$x^2 > 1 \Rightarrow x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1$$

Таким образом, область определения функции:

$$x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$$

Шаг 2. Исследуем поведение подлогарифмического выражения $x^2 — 1$

Функция $f(x) = x^2 — 1$ — это парабола с ветвями вверх.

• Она убывает на интервале $(-\infty, 0)$
• И возрастает на интервале $(0, +\infty)$

Нас интересует поведение на $(1; +\infty)$ — в этой области:

• $x > 1$
• Значит, $x^2 — 1$ возрастает, потому что производная $\frac{d}{dx}(x^2 — 1) = 2x > 0$ при $x > 1$

Шаг 3. Учитываем свойства логарифма

Функция $y = \log_{2}(x^2 — 1)$ — это сложная функция: логарифм по основанию 2 от возрастающей функции.

• Основание логарифма: $2 > 1$
• А при $a > 1$, функция $\log_a x$ возрастает на всей своей области определения.

Следовательно:

• Аргумент $x^2 — 1$ возрастает на $(1; +\infty)$
• Логарифм с положительным основанием $>1$ сохраняет порядок

Значит, вся функция $y = \log_{2}(x^2 — 1)$ возрастает на $(1; +\infty)$.

Шаг 4. Вывод

• Аргумент положителен при $x > 1$
• Аргумент возрастает при $x > 1$
• Основание логарифма $> 1$, значит логарифм тоже возрастает

$$\Rightarrow \text{Функция } y = \log_{2}(x^2 — 1) \text{ возрастает на } (1; +\infty)$$

Что и требовалось доказать.