ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 315 Алимов — Подробные Ответы

Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?

Число жителей города ежегодно увеличивается на 8%, через сколько лет их количество удвоится;

Ежегодно число жителей увеличивается в $q$ раз:

$$q = (100\% + 8\%) : 100 = 1.08;$$

Пусть $a$ — первоначальное число жителей, тогда:

$$a_n = a \cdot q^n = a(1.08)^n;$$

Число жителей удвоится через:

$$a(1.08{)}^n=2a;$$

$$a(1.08)^n = 2a;$$ $$(1.08{)}^n=2;$$

$$(1.08)^n = 2;$$ $${\log }_{1.08}(1.08{)}^n={\log }_{1.08}2;$$

$$\log_{1.08} (1.08)^n = \log_{1.08} 2;$$ $$n = \log_{1.08} 2 \approx 9 \, (\text{лет});$$

Ответ: через 9 лет.

Условие:
Число жителей города ежегодно увеличивается на 8%. Через сколько лет их количество удвоится?

Шаг 1: Понимание задачи

Мы ищем, через сколько лет число жителей города станет в 2 раза больше, если каждый год оно увеличивается на 8%.

Шаг 2: Перевод процента в коэффициент роста

Увеличение на 8% каждый год — это означает, что каждый год количество жителей умножается на коэффициент:

$$q = 1 + \frac{8}{100} = 1.08$$

Таким образом, если в начале было $a$ жителей, то через:

• 1 год: $a \cdot 1.08$
• 2 года: $a \cdot (1.08)^2$
• 3 года: $a \cdot (1.08)^3$
• …
• $n$ лет: $a \cdot (1.08)^n$

Шаг 3: Запись уравнения удвоения

Мы хотим узнать, через сколько лет $n$ число жителей станет в 2 раза больше, то есть:

$$a \cdot (1.08)^n = 2a$$

Разделим обе части уравнения на $a$ (можно это сделать, так как $a \neq 0$):

$$(1.08)^n = 2$$

Шаг 4: Решение показательного уравнения

Чтобы найти $n$, используем логарифмирование. Применим логарифм по основанию 1.08:

$$\log_{1.08} (1.08)^n = \log_{1.08} 2$$

По свойству логарифмов:

$$n \cdot \log_{1.08} (1.08) = \log_{1.08} 2$$ $$n \cdot 1 = \log_{1.08} 2$$ $$n = \log_{1.08} 2$$

Шаг 5: Вычисление логарифма

Чтобы найти значение $\log_{1.08} 2$, воспользуемся формулой перехода к логарифму с основанием 10 (или натуральному логарифму):

$$\log_{1.08} 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 1.08}$$

Вычислим численно (используем логарифмы по основанию 10):

• $\log_{10} 2 \approx 0.3010$
• $\log_{10} 1.08 \approx 0.0334$

Тогда:

$$n = \frac{0.3010}{0.0334} \approx 9.01$$

Шаг 6: Интерпретация результата

Получилось $n \approx 9.01$, то есть чуть больше 9 лет. Поскольку нас интересует через сколько лет удвоится, и рост происходит в конце каждого года, нужно взять целое число лет, после которого число жителей впервые станет в 2 раза больше. Это будет:

$$\boxed{9} \text{ лет}$$

Ответ: Через 9 лет число жителей города удвоится.