ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 299 Алимов — Подробные Ответы

Доказать,что если a > 0, a=/1,b > 0, p=/0, то loga^p(b)=1/p*loga(b). Используя

эту формулу вычислить:

1. log36(2) — 1/2log1/6(3);
2. 2log35(30) + log0,2(6).

Доказать, что если $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $p \neq 0$, то верно равенство:

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b;$$

Согласно основному логарифмическому тождеству:

$$a^{\log_{a^p} b} = \left( a^{p \log_{a^p} b} \right)^{\frac{1}{p}} = b^{\frac{1}{p}};$$ $$a^{\frac{1}{p} \log_a b} = \left( a^{\log_a b} \right)^{\frac{1}{p}} = b^{\frac{1}{p}};$$

Таким образом:

$$a^{\log_{a^p} b} = a^{\frac{1}{p} \log_a b};$$ $$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b;$$

Что и требовалось доказать.

1. $\log_{36} 2 — \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^2} 2 — \frac{1}{2} \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{2} \log_6 2 + \frac{1}{2} \log_6 3 =$
   $= \frac{1}{2} \log_6 (2 \cdot 3) = \frac{1}{2} \log_6 6 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5;$
2. $2 \log_{25} 30 + \log_{0.2} 6 = 2 \log_{5^2} 30 + \log_{\frac{1}{5}} 6 = \frac{2}{2} \log_5 30 + \log_{5^{-1}} 6 =$
   $= \log_5 30 — \log_5 6 = \log_5 \frac{30}{6} = \log_5 5 = 1;$

Доказать, что

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b,$$

при условии, что $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $p \neq 0$.

Шаг 1. Напомним определение логарифма:

$$\log_m n = k \iff m^k = n.$$

Шаг 2. Обозначим

$$x = \log_{a^p} b.$$

Тогда по определению логарифма:

$$(a^p)^x = b.$$

Шаг 3. Перепишем степень слева:

$$a^{p x} = b.$$

Шаг 4. Возьмём логарифм по основанию $a$ от обеих частей равенства:

$$\log_a (a^{p x}) = \log_a b.$$

Шаг 5. По свойству логарифма степени:

$$p x \cdot \log_a a = \log_a b.$$

Шаг 6. Известно, что $\log_a a = 1$, значит:

$$p x = \log_a b.$$

Шаг 7. Выражаем $x$:

$$x = \frac{1}{p} \log_a b.$$

Шаг 8. Поскольку $x = \log_{a^p} b$, получаем:

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b.$$

Вывод: Доказано искомое равенство.

Пример 1)

$$\log_{36} 2 — \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3$$

Шаг 1. Представим основания в виде степеней числа 6:

$$36 = 6^2, \quad \frac{1}{6} = 6^{-1}.$$

Шаг 2. Используем доказанное правило:

$$\log_{6^2} 2 = \frac{1}{2} \log_6 2,$$ $$\log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = — \log_6 3.$$

Шаг 3. Подставляем в выражение:

$$\log_{36} 2 — \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{6}} 3 = \frac{1}{2} \log_6 2 — \frac{1}{2} (- \log_6 3) = \frac{1}{2} \log_6 2 + \frac{1}{2} \log_6 3.$$

Шаг 4. Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$$\frac{1}{2} (\log_6 2 + \log_6 3).$$

Шаг 5. По свойству суммы логарифмов:

$$\log_a m + \log_a n = \log_a (mn),$$

значит:

$$\frac{1}{2} \log_6 (2 \cdot 3) = \frac{1}{2} \log_6 6.$$

Шаг 6. Логарифм основания по самому основанию равен 1:

$$\log_6 6 = 1,$$

значит:

$$\frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5.$$

Ответ 1):

$$\boxed{0.5}$$

Пример 2)

$$2 \log_{25} 30 + \log_{0.2} 6$$

Шаг 1. Представим основания через степени числа 5:

$$25 = 5^2, \quad 0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}.$$

Шаг 2. Используем доказанное правило:

$$\log_{5^2} 30 = \frac{1}{2} \log_5 30,$$ $$\log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1} \log_5 6 = — \log_5 6.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$2 \log_{25} 30 + \log_{0.2} 6 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 30 — \log_5 6 = \log_5 30 — \log_5 6.$$

Шаг 4. По свойству разности логарифмов:

$$\log_a m — \log_a n = \log_a \frac{m}{n},$$

значит:

$$\log_5 \frac{30}{6} = \log_5 5.$$

Шаг 5. Логарифм числа по самому основанию равен 1:

$$\log_5 5 = 1.$$

Ответ 2):

$$\boxed{1}$$