ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 289 Алимов — Подробные Ответы

Решить относительно x уравнение

Решить относительно $x$ уравнение:
$9^x + 9a(1 — a) \cdot 3^{x-2} — a^3 = 0;$
$3^{2x} + 9a(1 — a) \cdot \frac{3^x}{9} — a^3 = 0;$
$3^{2x} + (a — a^2) \cdot 3^x — a^3 = 0;$

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 + (a — a^2) \cdot y — a^3 = 0;$
$D = (a — a^2)^2 + 4 \cdot a^3;$
$D = a^2 — 2a^3 + a^4 + 4a^3 = a^2 + 2a^3 + a^4 = (a + a^2)^2;$

Корни уравнения:
$y = \frac{-(a — a^2) \pm \sqrt{(a + a^2)^2}}{2} = \frac{a^2 — a \pm |a + a^2|}{2};$
$y_1 = \frac{a^2 — a — (a + a^2)}{2} = \frac{a^2 — a — a — a^2}{2} = \frac{-2a}{2} = -a;$
$y_2 = \frac{a^2 — a + (a + a^2)}{2} = \frac{a^2 — a + a + a^2}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2;$

Первое значение:
$3^x = -a;$
$\log_3 3^x = \log_3 (-a);$
$x = \log_3 (-a);$
Выражение имеет смысл при:
$-a > 0, \text{ отсюда } a < 0;$

Дано уравнение:

$$9^x + 9a(1 — a) \cdot 3^{x-2} — a^3 = 0$$

Шаг 1: Перепишем уравнение в более удобном виде

Выразим $9^x$ через степень с основанием 3, поскольку $9 = 3^2$:

$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$$

Также представим $3^{x-2}$ как:

$$3^{x-2} = \frac{3^x}{3^2} = \frac{3^x}{9}$$

Подставим в уравнение:

$$3^{2x} + 9a(1 — a) \cdot \frac{3^x}{9} — a^3 = 0$$

Сократим множитель $9$ и $9$ в знаменателе:

$$3^{2x} + a(1 — a) \cdot 3^x — a^3 = 0$$

Раскроем скобку в коэффициенте:

$$a(1 — a) = a — a^2$$

Итого:

$$3^{2x} + (a — a^2) \cdot 3^x — a^3 = 0$$

Шаг 2: Вводим замену

Пусть

$$y = 3^x$$

Тогда:

$$3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$$

Уравнение становится квадратным относительно $y$:

$$y^2 + (a — a^2) y — a^3 = 0$$

Шаг 3: Вычисляем дискриминант

Для квадратного уравнения $y^2 + B y + C = 0$ дискриминант:

$$D = B^2 — 4C$$

Здесь:

$$B = a — a^2, \quad C = -a^3$$

Подставляем:

$$D = (a — a^2)^2 — 4 \cdot (-a^3) = (a — a^2)^2 + 4a^3$$

Раскроем квадрат:

$$(a — a^2)^2 = a^2 — 2a^3 + a^4$$

Добавим оставшийся член:

$$D = a^2 — 2a^3 + a^4 + 4a^3 = a^2 + 2a^3 + a^4$$

Шаг 4: Преобразуем дискриминант

Выносим общий множитель:

$$D = a^2 + 2a^3 + a^4 = a^2 (1 + 2a + a^2) = a^2 (1 + a)^2 = (a \cdot (1 + a))^2 = (a + a^2)^2$$

Шаг 5: Находим корни уравнения для $y$

Корни по формуле:

$$y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-(a — a^2) \pm |a + a^2|}{2} = \frac{a^2 — a \pm |a + a^2|}{2}$$

Шаг 6: Рассмотрим оба корня

• Первый корень:

$$y_1 = \frac{a^2 — a — (a + a^2)}{2} = \frac{a^2 — a — a — a^2}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$$

• Второй корень:

$$y_2 = \frac{a^2 — a + (a + a^2)}{2} = \frac{a^2 — a + a + a^2}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$$

Шаг 7: Возвращаемся к переменной $x$

Напоминаем, что $y = 3^x$, значит:

$$3^x = y$$

Рассмотрим оба варианта:

Вариант 1:

$$3^x = -a$$

Шаг 8: Условие существования решения

Поскольку $3^x > 0$ для любого действительного $x$, правая часть тоже должна быть положительной:

$$-a > 0 \implies a < 0$$

Шаг 9: Решение для $x$

При условии $a < 0$:

$$x = \log_3 (-a)$$

Вариант 2:

$$3^x = a^2$$

Шаг 10: Условие существования решения

Так как $a^2 \geq 0$ для всех действительных $a$, а $3^x > 0$, условие выполнено всегда.

Шаг 11: Решение для $x$

$$x = \log_3 (a^2)$$

Итог

• При $a < 0$ уравнение имеет два решения:

$$x_1 = \log_3 (-a), \quad x_2 = \log_3 (a^2)$$

• При $a \geq 0$ (за исключением $a = 0$, так как $a^3 = 0$) уравнение имеет одно решение:

$$x = \log_3 (a^2)$$